Matematyka.pl

Witam.
Od kilku godzin męczę się z zadaniami z równań różniczkowych i przystawiło mi przy takim:


Rozwiązanie równania różniczkowego
x'(t)=-0.5x(t)+5sin(3t) gdzie x(0)=7 , t \ge 0 ma postać:
x(t)=ae^{-0.5t}+Asin(3t+\varphi)
Obliczyć A i \varphi (a co z tym małym a?)


Próbowałem na 2 sposoby ...

trzeba wyznaczyć wartości parametru t, dla którego wykres tej krzywej przecina się sam ze sobą.

Czyli ogólnie chodzi o okresowość wartości X i Y tak?

no niestety... jest to funkcja opisana za pomocą współrzędnych biegunowych...
więc będzie to

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} r^2 d\alpha}\)
Tylko jeszcze pytanie czy to ma być przedział [0;pi] czy jakis inny...

Wyobraź sobie że przy obracaniu tego i liczeniu z tego całki wykorzystujemy nieskończenie cienkie plasterki tej bryły sumując jej objętości... aby wykonać obrót musisz mieć promień koła po jakim chcesz zatoczyć w danym plasterku krzywą f(x). potem liczyć pole tego koła i całkujesz to pole otrzymując ...

tw. Newtona-Leibinitza

omg przepraszam już od nadmiaru matematyki zadania mi się mieszają...

2/3 mi wyszło w zadaniu takim:
Długość łuku \(\displaystyle{ y = \sqrt{2x}}\) gdzie 0<=x<=1

A w tym u góry oczywiście że od parametru będzie zależał wynik

EDIT:
nawet 14/3 bo zapomniałem powrócic do y po podstawieniu ;D

hmm.. a jak scałkowałem to po "y" i wyszło mi 2/3 to dobrze czy źle mi wyszło? f:D

no i tu właśnie jest pies pogrzebany bo ta całka jest w zestawie zadań przed materiałem z całką niewłaściwą. No i szukam sposobu jak to wyznaczyć bez znajomości całek niewłaściwych... (no chyba że to przeoczenie układającego zadania i bez tego nie da rady )

no ok... tylko tak... przedziałów całkowania w takim podstawieniu nie jestem w stanie wyliczyć bo przecież przez 0 nie podzielę
No więc liczę nieoznaczoną i co wychodzi?
- F(x) = \frac{1}{2} ln \left| \frac{\sqrt{1+\frac{1}{16ax}}-1}{\sqrt{1+\frac{1}{16ax}}+1} \right| +2 \sqrt{1+\frac{1}{16ax}}
I ...

Jak policzyć taką całkę? Już chyba druga tego typu mi się trafiła i nie mogę sobie dać z nią rady bo wychodzi mi że muszę dzielić przez "0" stosując tw. Newtona-Leibinitza...

\int_{3a}^{0} \sqrt{\frac{16ax+1}{16ax})}

ew. jak obliczyć długość krzywej f(x)=\sqrt{x} na odcinku [0;1] - bo to zadanie ...

żeby obliczyć objętość musisz wykres obrócić wokół osi oX.

Wyobraź sobie teraz że objętość to nieskończona suma takich cieniutkich plasterków tej bryły. każdy plasterek ma powierzchnię równą \Pi r^2 a naszym r jest tutaj y.

W tym zadaniu wykres (nie funkcja bo to funkcją nie jest!) jest ...

albo bez podstawień...

i od razu przez części

\(\displaystyle{ = x*(arcsinx)^2 - 2 \int \frac{x}{sqrt(1-x^2)} arcsinx dx =}\)
\(\displaystyle{ x*(arcsinx)^2 - 2 (-sqrt(1-x^2)*arcsin(x) + \int dx))}\)

w tym ostatnim kroku pod całką pierwiastki się ładnie skrócą

a później z tw newtona-leibinitza (czy jak sie to pisze) F(b)-F(a).

ZObacz jak to ładnie wygląda np. dla a=1.
... F%282-x%29

Musisz więc obrócić to na przedziale [0;b] gdzie b < 2a (żeby nie dzielić przez 0 przypadkiem )
Wykorzystujesz wzór na obrót wykresu wokół OX i dalej już z górki

\int_{0}^{b} \frac{x^3}{(2a-x)} dx = ...

I liczysz jak zwykłą całkę ...

jest równe tylko, że po prawej stronie musisz brać po 2 wyrazy bo w znaku sumy jest 2n (troszke źle to rozpisałem nie uwzględniając że w symbolu sumy jest 2n)

No i właśnie tutaj jest problem bo nie wiem jak wykazać, że:
3\ |\ 2^{2n+1} + 1

Zadanie 2 (rozpisane):
\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n} = \frac{(-1)^2}{1} + \frac{(-1)^3}{2} + ... + \frac{(-1)^{n+1}}{n}
Być może w tym zadaniu jest błąd i dlatego się tak nie da rozpisać? (bo w ...