Matematyka.pl

Wykazać, że równanie ma co najmniej dwa pierwiastki będące liczbami rzeczywistymi.

\(\displaystyle{ x ^{180}+ \frac{84}{1+x ^{2} +\cos ^{2}x}= 119 }\)

Myślałam o zastosowaniu twierdzenia Darboux.
Będę wdzięczna za pomoc w rozwiązaniu

Hej, mam problem z poniższym zadaniem. Miałby ktoś pomysł jak należy je rozwiązać?

Wśród punktów należących do krzywej o równaniu \(\displaystyle{ x+y ^{2}=0 }\) znaleźć punkt położony najbliżej punktu (0,3).

Hej, bardzo proszę o pomoc z zadaniem:
„ Jaki wycinek koła należy usunąć by z pozostałej części (po sklejeniu) uzyskać naczynie w kształcie stożka o maksymalnej objętości”

Wynik to: \(\displaystyle{ 2 \pi \frac{( \sqrt{3}- \sqrt{2}) }{ \sqrt{3} } }\)

Dany jest rosnący ciąg geometryczny, o którym wiadomo, że \(\displaystyle{ a_{1}=2 }\) oraz że średnia geometryczna wyrazów \(\displaystyle{ a_{2} }\) i \(\displaystyle{ a_{6} }\) wynosi 16. Jaki jest siódmy wyraz tego ciągu?
Bardzo proszę o pomoc z zadaniem

Proszę o pomoc z zadaniem Znaleźć najmniejszy wyraz ciągu \(\displaystyle{ a _{n}=\left( 1- \frac{1}{(n+1)(2n-3)} \right) ^{2013} }\)

{101\choose 0}+ {101\choose 1}+...+{101\choose 50}=
\frac{1}{2} \left({101\choose 0}+ {101\choose 1}+...+{101\choose 50}+{101\choose 0}+ {101\choose 1}+...+{101\choose 50} \right) =\\= \frac{1}{2} \left({101\choose 0}+ {101\choose 1}+...+{101\choose 50}+{101\choose 101}+ {101\choose 100 ...

Będę bardzo wdzięczna za wyjaśnienie w jaki sposób obliczać wyrażenia takie jak te:

\(\displaystyle{ {101\choose 0}+ {101\choose 1}+...+{101\choose 50}}\)

Po pierwsze:
$$\frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3k+1}=\frac{(3k+1)-(3k-2)}{(3k-2)(3k-1)}=\frac{3}{(3k-2)(3k-1)}$$
więc
$$\frac{1}{(3k-2)(3k-1)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3k+1}\right)$$

Po drugie jeżeli \(f(k)=\frac{1}{3k-2}\) to \(f(k+1)\neq \frac{1}{3k-1}\) lecz ????

Jak to uporządkujesz ...

Czegoś tu brak, coś jest źle
\begin{align}
\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(3k-2) \cdot (3k+1)}&=\sum_{k=1}^{n}\frac{3}{(3k-2)}-\frac{3}{(3k+1)}\\
&=\sum_{k=1}^{n}\frac{3}{(3k-2)}-\sum_{k=2}^{n+1}\frac{3}{(3k-1)}\tag{*}\\
&=3-\frac{3}{(3n-1)}=\frac{9n-6}{(3n-1)}
\end{align}

Jak uzasadniasz równość ...

Pokaż cały rachunek


\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(3k-2) \cdot (3k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{3}{(3k-2)}-\frac{3}{(3k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{3}{(3k-2)}-\sum_{k=1}^{n}\frac{3}{(3k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{3}{(3k-2)}-\sum_{k=2}^{n+1}\frac{3}{(3k-1)}=3-\frac{3}{(3n-1)}=\frac{9n-6}{(3n-1)}

Nie jestem ...

a4karo pisze: 23 paź 2019, o 21:45 Nie. Nie jest prawdą, że
$$\frac{1}{(3k-2) \cdot (3k+1)}=\frac{1}{(3k-2)}-\frac{1}{(3k+1)}$$
(sprowadź prawą stronę do wspólnego mianownika i zobacz co powinno byc zamiast jedynek)

A jasne, teraz rozumiem. Po wpisaniu 3 w oba liczniki odpowiedź wyszła mi \(\displaystyle{ \frac{3(3n-2)}{3n-1}}\), jest prawidłowa?

a4karo pisze: 23 paź 2019, o 15:29 Prawie. To dobra droga, ale pierwsza równość nie jest prawdziwa.
A poza tym powinno być tak:
$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(3k-2) \cdot (3k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{?}{(3k-2)}-\frac{?}{(3k+1)}$$

Czyli w pierwszym liczniku powinnam wpisać (3k-1) a w drugim (3k+2) aby się zgadzało?

a_{n}= \frac{1}{1 \cdot 4}+ \frac{1}{4 \cdot 7}+\ldots+ \frac{1}{(3n-2) \cdot (3n+1)}

Zgodnie z poleceniem muszę podać wzór w postaci funkcji zmiennej od n.Starałam się postępować analogicznie do przykładu omawianego na zajęciach jednak nadal mam wątpliwości co do swojego wyniku. Niestety na ...