Podać wzór na sumę

[zuza1414]

\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{1}{1 \cdot 4}+ \frac{1}{4 \cdot 7}+\ldots+ \frac{1}{(3n-2) \cdot (3n+1)} }\)

Zgodnie z poleceniem muszę podać wzór w postaci funkcji zmiennej od n.Starałam się postępować analogicznie do przykładu omawianego na zajęciach jednak nadal mam wątpliwości co do swojego wyniku. Niestety na forum nie znalazłam nic co by mi w tym pomogło :/
To co sama próbowałam zrobić:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(3n-2) \cdot (3n+1)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(3n-2)}-\frac{1}{(3n+1)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(3n-2)}-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(3n+1)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(3n-2)}-\sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{(3n-1)}=1-\frac{1}{(3n-1)}=\frac{3n-2}{(3n-1)} }\)

Będę bardzo wdzięczna za pomoc

[a4karo]

Prawie. To dobra droga, ale pierwsza równość nie jest prawdziwa.
A poza tym powinno być tak:
$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(3k-2) \cdot (3k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{?}{(3k-2)}-\frac{?}{(3k+1)}$$

[zuza1414]

Prawie. To dobra droga, ale pierwsza równość nie jest prawdziwa.
A poza tym powinno być tak:
$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(3k-2) \cdot (3k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{?}{(3k-2)}-\frac{?}{(3k+1)}$$

Czyli w pierwszym liczniku powinnam wpisać (3k-1) a w drugim (3k+2) aby się zgadzało?

[a4karo]

Nie. Nie jest prawdą, że
$$\frac{1}{(3k-2) \cdot (3k+1)}=\frac{1}{(3k-2)}-\frac{1}{(3k+1)}$$
(sprowadź prawą stronę do wspólnego mianownika i zobacz co powinno byc zamiast jedynek)

[zuza1414]

Nie. Nie jest prawdą, że
$$\frac{1}{(3k-2) \cdot (3k+1)}=\frac{1}{(3k-2)}-\frac{1}{(3k+1)}$$
(sprowadź prawą stronę do wspólnego mianownika i zobacz co powinno byc zamiast jedynek)

A jasne, teraz rozumiem. Po wpisaniu 3 w oba liczniki odpowiedź wyszła mi \(\displaystyle{ \frac{3(3n-2)}{3n-1}}\), jest prawidłowa?

[a4karo]

Pokaż cały rachunek

[zuza1414]

Pokaż cały rachunek

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(3k-2) \cdot (3k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{3}{(3k-2)}-\frac{3}{(3k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{3}{(3k-2)}-\sum_{k=1}^{n}\frac{3}{(3k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{3}{(3k-2)}-\sum_{k=2}^{n+1}\frac{3}{(3k-1)}=3-\frac{3}{(3n-1)}=\frac{9n-6}{(3n-1)} }\)

Nie jestem tylko pewna czy ten moment jest w porządku:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\frac{3}{(3k-2)}-\sum_{k=2}^{n+1}\frac{3}{(3k-1)}}\)
Jeśli nie, to co powinnam zmienić?

[a4karo]

Czegoś tu brak, coś jest źle
\begin{align}
\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(3k-2) \cdot (3k+1)}&=\sum_{k=1}^{n}\frac{3}{(3k-2)}-\frac{3}{(3k+1)}\\
&=\sum_{k=1}^{n}\frac{3}{(3k-2)}-\sum_{k=2}^{n+1}\frac{3}{(3k-1)}\tag{*}\\
&=3-\frac{3}{(3n-1)}=\frac{9n-6}{(3n-1)}
\end{align}

Jak uzasadniasz równość (*)?

Pierwsza równość też nie jest prawdziwa - coś z tymi trójkami jest nie tak.

No i ostatnia też jest "z czapki".

Chyba nie za bardzo rozumiesz znak \(\sum\)?

[zuza1414]

Czegoś tu brak, coś jest źle
\begin{align}
\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(3k-2) \cdot (3k+1)}&=\sum_{k=1}^{n}\frac{3}{(3k-2)}-\frac{3}{(3k+1)}\\
&=\sum_{k=1}^{n}\frac{3}{(3k-2)}-\sum_{k=2}^{n+1}\frac{3}{(3k-1)}\tag{*}\\
&=3-\frac{3}{(3n-1)}=\frac{9n-6}{(3n-1)}
\end{align}

Jak uzasadniasz równość (*)?

Pierwsza równość też nie jest prawdziwa - coś z tymi trójkami jest nie tak.

No i ostatnia też jest "z czapki".

Chyba nie za bardzo rozumiesz znak \(\sum\)?

Staram się zrozumieć przykład podobny do omawianego na zajęciach.
(*) przy tej równości chciałam skorzystać z ogólnego przekształcenia \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}f(k)=\sum_{k=2}^{n+1}f(k-1)}\)
Tylko tutaj widzę, że wcześniej nie odjęłam jedynki \(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n+1}\frac{3}{(3k-2)}}\)

[a4karo]

Po pierwsze:
$$\frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3k+1}=\frac{(3k+1)-(3k-2)}{(3k-2)(3k-1)}=\frac{3}{(3k-2)(3k-1)}$$
więc
$$\frac{1}{(3k-2)(3k-1)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3k+1}\right)$$

Po drugie jeżeli \(f(k)=\frac{1}{3k-2}\) to \(f(k+1)\neq \frac{1}{3k-1}\) lecz ????

Jak to uporządkujesz to napiszesz poprawne rozwiązanie

[janusz47]

Jeśli rozpiszemy ostatni wzór na sumę \(\displaystyle{ S_{n} }\) dla \(\displaystyle{ k = 1, 2,...,n }\), który podał Pan a4karo

\(\displaystyle{ S_{n} = \frac{1}{3} \left [ \left( 1- \frac{1}{4} \right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{7} \right) + \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{10}\right) +...+ \left( \frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1}\right) \right ], }\)

to które składniki tej sumy zostaną

\(\displaystyle{ S_{n} = \frac{1}{3} \left( ... - ... \right) }\)

[a4karo]

Janusz47, doceniam Twoja biegłość w rozwiązywaniu zadań, ale może byś dał ludziom samodzielnie skorzystać ze wskazówek?
To niestety kolejny raz, kiedy wcinasz się

[zuza1414]

Po pierwsze:
$$\frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3k+1}=\frac{(3k+1)-(3k-2)}{(3k-2)(3k-1)}=\frac{3}{(3k-2)(3k-1)}$$
więc
$$\frac{1}{(3k-2)(3k-1)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3k+1}\right)$$

Po drugie jeżeli \(f(k)=\frac{1}{3k-2}\) to \(f(k+1)\neq \frac{1}{3k-1}\) lecz ????

Jak to uporządkujesz to napiszesz poprawne rozwiązanie

W ostatnim wyrażeniu widzę że za n powinnam wstawiać (n+1)
Więc idąc dalej

\(\displaystyle{ \frac{1}{3}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(3k-2)}-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(3k-1)}= \frac{1}{3}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(3k-2)}-\sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{(3k-1)}= \frac{1}{3}-\frac{1}{3n+2}}\)

[a4karo]

Nie. Niestety nie rozumiesz tego zapisu, a ponadto nawiasy wstawiasz w sposób losowy. To \(n+1\) nie wzięło się stąd, że ktoś je tam wstawił, tylko z konkretnych przekształceń.


\begin{align}
\sum_{k=1}^n \frac{1}{(3k-2)(3k-1)}&=\frac{1}{3}\sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3k+1}\right)\\
&=\frac{1}{3}\sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3(k+1)-2}\right)\\
&=\frac{1}{3} \left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{3k-2}-\sum_{k=1}^n\frac{1}{3(k+1)-2}\right)\\
&=\frac{1}{3} \left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{3k-2}-\sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{3k-2}\right)\\
&=\frac{1}{3} \left(\frac{1}{3\cdot 1-2}-\frac{1}{3(n+1)-2}\right)=\frac{1}{3} \left(1-\frac{1}{3n+1}\right)
\end{align}

Przeanalizuj te rachunki krok po kroku i powiedz ja kolejna linijka wynika z poprzedniej.

[janusz47]

k- ty wyraz szeregu przedstawiamy w postaci sumy (różnicy) dwóch ułamków prostych:

\(\displaystyle{ \frac{1}{(3k - 2)(3k+1)} = \frac{A}{3k- 2} + \frac{B}{3k+1} \ \ (0) }\)

Znajdujemy współczynniki \(\displaystyle{ A, B }\) tego przedstawienia

\(\displaystyle{ \frac{1}{(3k - 2)(3k+1)} = \frac{A}{3k- 2} + \frac{B}{3k+1} = \frac{A(3k+1)+ B(3k-2)}{(3k-2)(3k+1)}= \frac{3(A+B)k+A-2B }{(3k-2)(3k+1)} \ \ (1) }\)

Aby prawa strona równości \(\displaystyle{ (1) }\) równała się lewej, musi zachodzić tożsamość ( wynikająca z równości ułamków)

\(\displaystyle{ 3(A +B)k +A -2B \equiv 1 }\)

Stąd otrzymujemy układ równań na współczynniki \(\displaystyle{ A , \ \ B}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} A+B = 0 \\ A - 2B = 1 \end{cases}}\)

Odejmując drugie równanie od pierwszego, mamy

\(\displaystyle{ -3B = 1, \ \ B = -\frac{1}{3} \ \ (2) }\)

Wstawiając równanie \(\displaystyle{ (2) }\) do pierwszego \(\displaystyle{ A = \frac{1}{3}. }\)

Z równości \(\displaystyle{ (0) }\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{(3k - 2)(3k+1)} = \frac{A}{3k- 2} + \frac{B}{3k+1} = \frac{\frac{1}{3}}{3k-2} - \frac{\frac{1}{3}}{3k+1} = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1}\right) }\)

Przedstawiamy \(\displaystyle{ n- }\) tą sumę częściową szeregu w postaci

\(\displaystyle{ S_{n} = f(n) = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(3k -2)(3k+1)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3} \left(\frac{1}{3k-2}- \frac{1}{3k+1}\right) = \frac{1}{3}\left[\left(1 -\frac{1}{4} \right ) + \left(\frac{1}{4} -\frac{1}{7} \right) +\left(\frac{1}{7} - \frac{1}{10} \right) +...+ \\ +\left( \frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1} \right) \right ] = \frac{1}{3} \left (1 - \frac{1}{3n+1}\right)}\)

Pozostał tylko pierwszy i ostatni składnik sumy, pozostałe składniki się uprościły.

Stąd

\(\displaystyle{ f(n) = \frac{1}{3} \left (1-\frac{1}{3n+1}\right) = \frac{1}{3}\left( \frac{3n+1-1}{3n+1} \right) = \frac{1}{3}\left( \frac{3n}{3n+1} \right) = \frac{n}{3n+1}.}\)

To zadanie powinno być zapisane w działach: Analiza, Szeregi liczbowe i iloczyny.