Matematyka.pl

Dany jest wielomian \(\displaystyle{ w(x)=ax ^{3}-bx ^{2}-cx+d}\),gdzie \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) są czterema kolejnymi parzystymi liczbami naturalnymi dodatnimi. Wykaż, że wielomian ma trzy pierwiastki i oblicz dla jakich \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) suma tych pierwiastków jest największa?

Wiedząc,że równanie \(\displaystyle{ x^{2}+px+q=0}\) ma dokładnie jedno rozwiązanie, podaj rozwiązania równania \(\displaystyle{ x ^{2}+3px+9q=0}\).

Rozwiąż układ równań:

\(\displaystyle{ \left|x-y \right| - \frac{\left| x\right| }{x}=-1}\)

\(\displaystyle{ \left| 2x-y\right|+\left| x+y-1\right|+\left| x-y\right|+y-1=0}\)

Uzasadnij, że jeżeli \(\displaystyle{ a ^{2} +b ^{2} =(a+b-c) ^{2}}\) to \(\displaystyle{ \frac{ a ^{2} +(a-c) ^{2} }{b ^{2}+(b-c) ^{2}} = \frac{a-c}{b-c}}\) dla \(\displaystyle{ b}\) różnego od \(\displaystyle{ c}\).

Niech \(\displaystyle{ r}\) i \(\displaystyle{ R}\) oznaczają odpowiednio promień okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie prostokątnym. Wykaż,że \(\displaystyle{ \frac{r}{R} \le \sqrt{2}-1}\).
Proszę o podpowiedź.

Dla jakich k, należących zbioru liczb całkowitych, \(\displaystyle{ \frac{k+11}{k ^{2}+k+2 }}\) jest liczbą całkowitą?

Wykaż,że rozwiązania (x,y,z) układu
(x+y+z)(8x+y)=a ^{6}+2\cdot a ^{3}\cdot b ^{3}
(x+y+z)(8y+z)=b ^{6}+2\cdot b ^{3}\cdot c ^{3}
(x+y+z)(8z+x)=c ^{6}+2\cdot c ^{3}\cdot a ^{3}
gdzie a,b,c należą do liczb rzeczywistych dodatnich spełnia nierówność
\left| x+y+z \right| \ge abc -- 7 maja 2018 ...

Dany jest czworokąt o bokach \(\displaystyle{ a,b,c,d}\). Wykaż,że jego pole \(\displaystyle{ S}\) spełnia nierówność:
\(\displaystyle{ S \le \frac{(a+b)(b+d)}{4}}\)

Przepraszam, ale w poleceniu do zadania nastąpiła pomyłka, uciekł \(\displaystyle{ x}\).

Wykaż,że jeżeli a,b,c są długościami boków trójkąta o polu równym 1, spełniającymi warunek
\(\displaystyle{ a \ge b \ge c}\) , to \(\displaystyle{ b \ge \sqrt{2}}\).

Rozwiąż w liczbach całkowitych dodatnich równanie \(\displaystyle{ x(y+1)^{2} = 243y}\).