Matematyka.pl

Dziękuję obu Panom. Jestem pewien że krl chodziło o ściągalność, wcześniej było ćwiczenie że jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest ściągalna, a \(\displaystyle{ Y}\) dowolna, to dowolne odwzorowania ciągłe \(\displaystyle{ f, g:Y\to X}\), są homotopijne, i na odwrót.

Życzę miłego dnia

Nie rozumiem w pełni poniższego dowodu.

Lemat. Jeśli F:[0, 1]^2\to X jest ciągła, a(t) = F(0, t), b(t) = F(1, t), c(s) = F(s, 0), d(s) = F(s, 1) , to d jest homotopijne z a^{-1}cb względem \{0, 1\} .

Tu a^{-1} znaczy krzywą o przeciwnym kierunku.

Twierdzenie. Przestrzeń ściągalna jest jednospójna ...

Pierwszy sposób, to zauważyć że X jest funkcją ciągłą, w szczególności mierzalną.

Drugi sposób
\{X>\alpha\} = \{\max(w_1, w_2)>\alpha\}\cap...\cap\{\max(w_1, 1-w_2)>\alpha\}
Ale
\{\max(w_1, w_2)>\alpha\}=\{w_1>\alpha\}\cup\{w_2>\alpha\} , reszta analogicznie.
Więc \{X>\alpha\} jest mierzalny dla ...

Tak, tak to równanie będzie wyglądać.
Jako ciekawostkę, powiem że jest to równanie Riccatiego:

Istnieje podciąg \(\displaystyle{ a_{n_k}}\) ciągu \(\displaystyle{ a_n}\) który jest zbieżny.
Dalej, istnieje podciąg ciągu \(\displaystyle{ b_{n_k}}\), mianowicie \(\displaystyle{ b_{n_{k_l}}}\) który jest zbieżny.
Otrzymujemy dwa ciągi zbieżne, mianowicie \(\displaystyle{ a_{n_{k_l}}}\) oraz \(\displaystyle{ b_{n_{k_l}}}\).
Dla większej ilości ciągów ograniczonych, przez indukcję.

Nie wiem co cię tutaj zdezorientowało za bardzo. Mamy funkcję f(z) = \frac{1}{x-2} = g(x) ,
i ona względem y się nie zmienia, a względem x jest malejąca.
Skoro względem y się nie zmienia, to o tej zmiennej możemy w ogóle zapomnieć,
patrzymy tylko na x który przyjmuje wartości z [-1, 1] .
No i to już ...

No, prawie dobrze.
\(\displaystyle{ a = -b \implies a\in A\cap B \implies a = 0}\)
No i że \(\displaystyle{ b = 0}\) to już mamy z tego że \(\displaystyle{ a+b = 0}\)

Poprawnie zadane pytanie, brzmiałoby:

Czy dla dowolnej funkcji f\in o(x) , zachodzi
\frac{f(x)}{x}\in O(x) ?

Weźmy zatem taką funkcję f .

Dla dowolnego \varepsilon>0 , znajdziemy taki x_0 , że dla każdego x>x_0 :

|f(x)|\leq\varepsilon\cdot x . Inaczej mówiąc, \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x ...

Jest strasznie przekombinowane, więc sam rozwiążę
Dla t\in[0, 1]
P(A_t\cap B) = 1/2 - (1-t)^2/2

P(A_t\cap B) = P(A_t)P(B) \implies 1/2 - (1-t)^2/2 = t/2 \implies t=0 \,\lor\, t=1

Dla t>1 , A_t = \Omega , i niezależność zachodzi automatycznie.

Dla t<0 , A_t = \emptyset , i też zachodzi ...

Dziękuję i Pozdrawiam

Pierwsza rzecz, całka jest określona bo wyrażenie pod logarytmem jest \geq 2
Druga, x=r\cos\theta, y=r\sin\theta i Jakobian r
I mamy \int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^1\int\limits_0^2 \frac{z}{n}\ln(r^{2n}+r^{-2n})r dz dr d\theta = 4\pi \int\limits_0^1 r\frac{ln(r^{2n}+r^{-2n})}{n} dr
r\frac{\ln ...

Małe niedopatrzenie, praktycznie nieszkodliwe.
\(\displaystyle{ x=n}\) nie jest najlepszym podstawieniem, \(\displaystyle{ x = \sqrt{3}n}\) jest lepsze
Jak je zastąpimy to będzie ok

Funkcja jest całkowalna wtedy, gdy całka z jej części dodatniej i ujemnej jest skończona

Zbadajmy istnienie granicy \lim_{x \to x_0} f(x)
Jeśli w definicji Heine'go wybierzemy ciąg liczb wymiernych, to oczywiście widzimy że musi być
\lim_{x \to x_0} f(x) = a
Z drugiej strony, jeśli wybierzemy ciąg liczb niewymiernych,
\lim_{x \to x_0} f(x) = x_0^2+ax_0+a
Zatem x_0^2+ax_0+a = a ...

\(\displaystyle{ \mu(\bigcap_{m=1}^{\infty}P_m) \leq \mu(P_m) \leq \sum_{n=1}^\infty 1/(m2^{n-1})= 1/m}\)
Jest tak dla każdego \(\displaystyle{ m}\), więc \(\displaystyle{ \mu(\bigcap_{m=1}^{\infty}P_m) = 0}\)