Zbieżność jednostajna ciągu funkcyjnego.

[ronisert]

Witam serdecznie,
mam problem z ciągiem funkcyjnym postaci \(\displaystyle{ f_{n}(x)=\left(\minuso-1\right)^{n}n\,\sin\left(\pi\sqrt{x^{2}+n^{2}}\right)}\). Zbadałem jego zbieżność punktową, wynosi ona \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}x^{2}}\).

Mam teraz problem z jednostajną zbieżnością. Moja intuicja podpowiada, że nie będzie on jednostajnie zbieżny, jednak nie potrafię tego pokazać. Zapewne "źle będzie się z nim działo" w nieskończoności, ale nie potrafię dobrać tak ciągów, aby mieć coś sensownego. Macie jakieś propozycje?

[Premislav]

Zastanawiam się (to oczywiście nie jest uwaga do Ciebie), po co dawać takie zadania.
Granica punktowa OK.


Natomiast brak zbieżności jednostajnej chyba jest prostą sprawą, weźmy
\(\displaystyle{ x=n}\), wówczas \(\displaystyle{ \left| f_n(x)- \frac{\pi}{2} x^2\right| = \frac{\pi n^2}{2}}\), czyli
nie może zachodzić
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left( \sup_{x \in \RR}\left| f_n(x)- \frac{\pi}{2} x^2\right| \right) =0}\)
a ten warunek jest równoważny zbieżności jednostajnej tego ciągu funkcyjnego do \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}x^2.}\)

[ronisert]

Wielkie dzięki za odpowiedź, już sobie poradziłem. Pewne błędy nie pozwoliły mi zauważyć, że na najprostszym ciągu "psuje" się jednostajna zbieżność.

[Adam-m]

Małe niedopatrzenie, praktycznie nieszkodliwe.
\(\displaystyle{ x=n}\) nie jest najlepszym podstawieniem, \(\displaystyle{ x = \sqrt{3}n}\) jest lepsze
Jak je zastąpimy to będzie ok

[Premislav]

Racja, dzięki za uwagę. No krótko mówiąc chodzi o to, by ten sinus się zerował, a źle policzyłem, kiedy to następuje, ponieważ nie umiem dodawać.