Podciągi zbieżne

[MrCommando]

Wykazać, że jeśli ciągi \(\displaystyle{ a_n}\) i \(\displaystyle{ b_n}\) są ograniczone, to istnieje rosnący ciąg liczb naturalnych \(\displaystyle{ n_k}\) taki, że obydwa podciągi \(\displaystyle{ a_{n_{k}}}\) i \(\displaystyle{ b_{n_{k}}}\) są zbieżne. Czy będzie to prawdziwe również dla trzech ciągów ograniczonych?

Oczywiście twierdzenie Bolzano-Weierstrassa daje nam to, że obydwa dane w zadaniu ciągi mają podciąg zbieżny. Jednak mimo to dalej nie wiem jak to ugryźć.

[Adam-m]

Istnieje podciąg \(\displaystyle{ a_{n_k}}\) ciągu \(\displaystyle{ a_n}\) który jest zbieżny.
Dalej, istnieje podciąg ciągu \(\displaystyle{ b_{n_k}}\), mianowicie \(\displaystyle{ b_{n_{k_l}}}\) który jest zbieżny.
Otrzymujemy dwa ciągi zbieżne, mianowicie \(\displaystyle{ a_{n_{k_l}}}\) oraz \(\displaystyle{ b_{n_{k_l}}}\).
Dla większej ilości ciągów ograniczonych, przez indukcję.

[MrCommando]

No tak, a z kolei podciąg \(\displaystyle{ a_{n_{k_{l}}}\) też jest zbieżny jako podciąg ciągu zbieżnego.

Dziękuję