Matematyka.pl

Wiadomo, że funkcja \(\displaystyle{ f(n) = \sum_{k=0}^{n}k(k+1)}\) jest wielomianem stopnia 3-go
zmiennej n. Korzystając z zadania interpolacji podaj postać tego wielomianu. Podaj tez postać
iloczynową tej funkcji.

Będę wdzięczny za każdy rodzaj pomocy.

Dziękuję za rozpisanie wszystkiego po kolei

Masz rację, prościej liczy się Twoim sposobem.
Zastanawiam się teraz czy da się dojść z tym, co mamy do postaci:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }\left( 2 \cdot \left( -1\right) ^{n} - 3 \cdot 2 ^{-n-1}\right) \cdot x ^{n}}\), bo do takiej mam (teoretycznie) sprowadzić, ale jakoś tego nie widzę..

Mam trudności z rozwinięciem takiej funkcji f\left( x\right) = \frac{x}{x ^{2}-5x+6 } w szereg o środku x_{0}=0 . W poleceniu mam wskazówkę, żeby rozłożyć na początku funkcję na ułamki proste.
Robię to w skrócie tak:
f\left( x\right) = \frac{x}{x ^{2}-5x+6 } = \frac{3}{x-3}- \frac{2}{x-2 ...

I znowu uczelnia rzuca kłody pod nogi Dziękuję za całą pomoc

Robiłem tak samo, tylko w odpowiedzi mam \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{2}\left( -1\right) ^{n}\left( n+1\right)\left( n+2\right)x ^{n}}\) i nie wiem skąd bierze się to \(\displaystyle{ \left( -1\right) ^{n}}\)

Ten wzór wyjaśnia wszystko, zadanie zrobione, ale zastanawia czy da się tę funkcję rozpisać bez jego użycia? Tak samo jak wcześniej z liczenia pochodnych coś mi nie wychodzi i nie wiem czy w dobrym kierunku idę..

A jakiś pomysł na te obszary zbieżności tych dwóch?
f\left( x\right) = \frac{1}{1+x ^{3} }
f\left( x\right) = \frac{1}{\left( 1-x\right) ^{3} }

Pierwsza wygląda po prostu na podstawienie do wzoru, mam takie coś \sum_{n=0}^{ \infty }\left( -x ^{3} \right)^{n} , ale obszar zbieżności powinienem ...

Premislav, jedno pytanie, dlaczego \(\displaystyle{ t \in \left( 0,1\right)}\) a nie \(\displaystyle{ \left( -1,1\right)}\)? Bo w tablicach mam podany przedział zbieżności takiego szeregu jako \(\displaystyle{ \left| t\right| < 1}\)

Mógłby ktoś pomóc z zapisaniem tych funkcji za pomocą szeregu Maclaurina?
\(\displaystyle{ f\left( x\right) = \frac{1}{\left( 1+x\right) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ f\left( x\right) = \frac{1}{1+x ^{3} }}\)
\(\displaystyle{ f\left( x\right) = \frac{1}{\left( 1-x\right) ^{3} }}\)

Ważne, że wszystko już jasne i mogę iść na kolokwium ze świadomością, że rozumiem
Dzięki za pomoc wszystkim

Tzn, przedział zbieżności wyszedł \(\displaystyle{ \left( - \frac{1}{5}, \frac{1}{5} \right)}\). Porównałem to ilorazowo z szeregiem \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{1}{ n^{2} }}\) i wtedy wychodzi, że na krańcach też jest zbieżny. Jest ok?

Oczywiście, że to coś daje. Być może za bardzoś przyzwyczaił się do szeregów liczbowych, gdzie istotnie granica odpowiedniego wyrażenia równa 1 w kryteriach Cauchy'ego czy d'Alemberta nic nam nie daje. Tutaj jednak interesuje Cię samo wyrażenie
\limsup_{n \to \infty } \sqrt[n]{|a_n|} , jego ...

A podpowiecie, z którego kryterium określić krańce przedziału? Z Cauchy'ego wychodzi 1 i to nic nie daje.

A jeśli w pierwszym zrobię tak jak wyżej, z kryt. Cauchy'ego i potem skorzystam z tw. o 3 ciągach? Z góry oszacowałbym tak \(\displaystyle{ \sqrt[n]{ \frac{2 \cdot 5^{n} }{n ^{2} } }}\) , tylko nie wiem co z dołem..