Znaleźć obszar zbieżności szeregów potęgowych

[matex24]

\(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{ \infty } \frac{5 ^{n}-\left( -3\right) ^{n} }{n ^{2} }x ^{n}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{ \infty }\tg \frac{1}{n}\left( x-2\right) ^{n}}\)
Proszę o pomoc i wskazówki jak to rozwiązać, bo w odpowiedziach mam podane \(\displaystyle{ \left\langle -5,5\right \rangle}\)dla pierwszego i \(\displaystyle{ \left( -1,1\right\rangle}\) dla drugiego.

W drugim przykładzie na pierwszy rzut oka nie odpowiada mi już środek, który będzie \(\displaystyle{ x=2}\), więc przedział zbieżności nie może być tak jak w odpowiedziach. Przy próbie liczenia wyszło mi, że obszar zbieżności tego szeregu to \(\displaystyle{ \left[ 1,3\right).}\)

[Janusz Tracz]

Z kryterium Cauchy'ego można określić dla jakich \(\displaystyle{ x}\) będzie spełnione:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{\left| \frac{5 ^{n}-\left( -3\right) ^{n} }{n ^{2} }x ^{n}
\right| }<1}\)

Czyli innymi słowy kiedy będzie tak:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{\left| \frac{5 ^{n}-\left( -3\right) ^{n} }{n ^{2} }x ^{n}
\right| }=5\left| x\right|<1}\)

Z tego wynika że promień zbieżności to \(\displaystyle{ \left( - \frac{1}{5}, \frac{1}{5} \right)}\) a sprawdzenie krańców przedziały robisz przez podstawianie ich do szeregu, okaże się wtedy że krańce też należą do promienia zbieżność. Więc ostatecznie powinno być \(\displaystyle{ \left[ - \frac{1}{5}, \frac{1}{5} \right]}\).

W tym drugim przykładzie można analogicznie postąpić:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{\tg \frac{1}{n}\left( x-2\right) ^{n}}=\left| x-2\right|<1}\)

Więc zbieżność mamy zagwarantowaną dla \(\displaystyle{ x\in\left( 1,3\right)}\) przy czym dokładniejsze badanie pokazuje że \(\displaystyle{ x=1}\) można dołączyć do promienia zbieżności na mocy kryterium Leibniza. Ale już dla \(\displaystyle{ x=3}\) szereg jest rozbieżny na mocy ilorazowego z \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{1}{n}}\). Więc zostaje \(\displaystyle{ x\in\left[ 1,3\right)}\)

[a4karo]

W drugim masz rację. W pierwszym zauważ, że \(\displaystyle{ 5^n}\) jest dużo większe od \(\displaystyle{ 3^n}\).

[matex24]

A jeśli w pierwszym zrobię tak jak wyżej, z kryt. Cauchy'ego i potem skorzystam z tw. o 3 ciągach? Z góry oszacowałbym tak \(\displaystyle{ \sqrt[n]{ \frac{2 \cdot 5^{n} }{n ^{2} } }}\) , tylko nie wiem co z dołem..

[Janusz Tracz]

dół możesz też szacować tak:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{ \frac{5^n-3^n}{n^2} }= \frac{ 5 \cdot \sqrt[n]{1-\left( \frac{3}{5} \right)^n } }{ \sqrt[n]{n^2} } \rightarrow 5}\)

[a4karo]

\(\displaystyle{ 3^n<5^n/2}\)

[matex24]

A podpowiecie, z którego kryterium określić krańce przedziału? Z Cauchy'ego wychodzi 1 i to nic nie daje.

[Premislav]

Oczywiście, że to coś daje. Być może za bardzoś przyzwyczaił się do szeregów liczbowych, gdzie istotnie granica odpowiedniego wyrażenia równa \(\displaystyle{ 1}\) w kryteriach Cauchy'ego czy d'Alemberta nic nam nie daje. Tutaj jednak interesuje Cię samo wyrażenie
\(\displaystyle{ \limsup_{n \to \infty } \sqrt[n]{|a_n|}}\), jego odwrotność (jak ta granica wynosi zero, wtedy masz promień zbieżności nieskończoność) to będzie promień zbieżności, czyli
w tym przypadku \(\displaystyle{ 1}\).

[matex24]

Oczywiście, że to coś daje. Być może za bardzoś przyzwyczaił się do szeregów liczbowych, gdzie istotnie granica odpowiedniego wyrażenia równa \(\displaystyle{ 1}\) w kryteriach Cauchy'ego czy d'Alemberta nic nam nie daje. Tutaj jednak interesuje Cię samo wyrażenie
\(\displaystyle{ \limsup_{n \to \infty } \sqrt[n]{|a_n|}}\), jego odwrotność (jak ta granica wynosi zero, wtedy masz promień zbieżności nieskończoność) to będzie promień zbieżności, czyli
w tym przypadku \(\displaystyle{ 1}\).

To chyba zrozumiałem. Chodzi mi o te punkty na krańcach przedziału zbieżności, wydaje mi się, że tam już nie ma szeregu potęgowego skoro podstawiam wartości w miejsce x. I wtedy sprawdzam zbieżność dla tych konkretnych punktów, a z kryt. Cauchy'ego wychodzi 1, stąd moje wątpliwości

[Premislav]

bzdety, nie czytać:    

A, OK, no to na brzegach przedziału zbieżności zawsze nie ma rady, podstawiasz te wartości z brzegów i dostajesz konkretne szeregi liczbowe. W pierwszym będą to
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{5^n-(-3)^n}{n^2}}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{}^{} (-1)^n\cdot \frac{5^n-(-3)^n}{n^2}}\)
Ale łatwo widać, że one nie spełniają nawet warunku koniecznego zbieżności, ponieważ np.
\(\displaystyle{ 5^n-(-3)^n\ge 2^n}\), zaś
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{2^n}{n^2} =+\infty}\).

[matex24]

Tzn, przedział zbieżności wyszedł \(\displaystyle{ \left( - \frac{1}{5}, \frac{1}{5} \right)}\). Porównałem to ilorazowo z szeregiem \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{1}{ n^{2} }}\) i wtedy wychodzi, że na krańcach też jest zbieżny. Jest ok?

[Premislav]

Ojej, co ja tam powyżej napisałem, to ja nawet nie wiem. Dziwne, bo niby się wyspałem.

Tak, jest OK.

[matex24]

Ważne, że wszystko już jasne i mogę iść na kolokwium ze świadomością, że rozumiem
Dzięki za pomoc wszystkim