Rozwinięcie funkcji na szereg Maclaurina

[matex24]

Mógłby ktoś pomóc z zapisaniem tych funkcji za pomocą szeregu Maclaurina?
\(\displaystyle{ f\left( x\right) = \frac{1}{\left( 1+x\right) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ f\left( x\right) = \frac{1}{1+x ^{3} }}\)
\(\displaystyle{ f\left( x\right) = \frac{1}{\left( 1-x\right) ^{3} }}\)

[Premislav]

\(\displaystyle{ \frac{1}{1-t}= \sum_{n=0}^{ \infty } t^n}\)
dla dowolnego \(\displaystyle{ t\in (0,1)}\), zatem różniczkując to stronami (prawą stronę wyraz po wyrazie, jak to szeregi potęgowe wewnątrz przedziału zbieżności) dostajemy
\(\displaystyle{ \frac{1}{(1-t)^2}= \sum_{n=0}^{+\infty}(n+1)t^n}\),
a teraz podstawiasz \(\displaystyle{ t=-x}\) i koniec.

[matex24]

Premislav, jedno pytanie, dlaczego \(\displaystyle{ t \in \left( 0,1\right)}\) a nie \(\displaystyle{ \left( -1,1\right)}\)? Bo w tablicach mam podany przedział zbieżności takiego szeregu jako \(\displaystyle{ \left| t\right| < 1}\)

[Premislav]

A no mój błąd niestety, \(\displaystyle{ t\in (-1,1)}\).

[matex24]

A jakiś pomysł na te obszary zbieżności tych dwóch?
\(\displaystyle{ f\left( x\right) = \frac{1}{1+x ^{3} }}\)
\(\displaystyle{ f\left( x\right) = \frac{1}{\left( 1-x\right) ^{3} }}\)

Pierwsza wygląda po prostu na podstawienie do wzoru, mam takie coś \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }\left( -x ^{3} \right)^{n}}\), ale obszar zbieżności powinienem chyba liczyć z \(\displaystyle{ \left| -x ^{3} \right|<1}\)

[Premislav]

No zgadza się, to jest bardzo proste.

W drugim przydać się może taki ogólny wzorek:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}{n+k \choose k}x^n=\frac{1}{(1-x)^{k+1}}}\)
dla odpowiednich \(\displaystyle{ x}\). Te odpowiednie \(\displaystyle{ x}\) znajdujesz, licząc promień zbieżności tego szeregu po lewej (np. stosując kryterium d'Alemberta do szeregu modułów), tutaj rzecz jasna \(\displaystyle{ k=2}\).

[matex24]

Ten wzór wyjaśnia wszystko, zadanie zrobione, ale zastanawia czy da się tę funkcję rozpisać bez jego użycia? Tak samo jak wcześniej z liczenia pochodnych coś mi nie wychodzi i nie wiem czy w dobrym kierunku idę..

[Premislav]

Tak, można.
Wracamy do wzoru
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-x}= \sum_{n=0}^{ \infty } x^n}\) dla \(\displaystyle{ |x|<1}\). Różniczkujemy to dwukrotnie stronami, a dostaniemy
\(\displaystyle{ \frac{2}{(1-x)^3}= \sum_{n=0}^{ \infty }(n+1)(n+2)x^n}\), gdzie wciąż \(\displaystyle{ |x|<1}\) (patrz twierdzenie o różniczkowaniu szeregów potęgowych), czyli po podzieleniu tego przez dwa
\(\displaystyle{ \frac{1}{(1-x)^3}= \sum_{n=0}^{ \infty }\frac{(n+1)(n+2)}{2}x^n}\)
dla \(\displaystyle{ |x|<1}\).

[matex24]

Robiłem tak samo, tylko w odpowiedzi mam \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{2}\left( -1\right) ^{n}\left( n+1\right)\left( n+2\right)x ^{n}}\) i nie wiem skąd bierze się to \(\displaystyle{ \left( -1\right) ^{n}}\)

[Premislav]

W odpowiedzi jest w takim razie źle. Natomiast mamy
\(\displaystyle{ \frac{1}{(1{\red +}x)^3}=\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{2}\left( -1\right) ^{n}\left( n+1\right)\left( n+2\right)x ^{n}}\)
gdy \(\displaystyle{ |x|<1}\).

[matex24]

I znowu uczelnia rzuca kłody pod nogi Dziękuję za całą pomoc