Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ f(x)=a_nx^n+a_{n−1}x^{n−1}+...+a_1x+a_0}\) oraz niech a,b,c będą trzema różnymi liczbami całkowitymi takimi że \(\displaystyle{ f(a)=b,f(b)=c,f(c)=a}\). Pokaż że istnieje co najmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ a_0,a_1,...a_n}\) jest całkowita.

klimat pisze: ↑

23 maja 2020, o 07:33

Pokaż że, dla każdych dwóch liczb naturalnych \(\displaystyle{ (a,b)}\) istnieją dwie liczby naturalne \(\displaystyle{ S>x}\) takie że \(\displaystyle{ \binom{S}{2}=x(a-b)+Sb.}\)

Uściślenie odnośnie x.

Pokaż że, dla każdych dwóch liczb naturalnych \(\displaystyle{ (a,b)}\) istnieją liczby naturalne \(\displaystyle{ S>x}\) takie że \(\displaystyle{ \binom{S}{2}=x(a-b)+Sb.}\)

Wykaż że \(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n}\dbinom{n}{k}^{-1} = \frac{n+1}{2^{n+1}} \sum_{k=0}^{n}\frac{2^{k+1}}{k+1}}\).

Pokaż, że istnieje takie \(\displaystyle{ a>0}\), że dla kazdego \(\displaystyle{ x \in [1, \infty)}\) mamy
\(\displaystyle{ \left|\sum_{n=1}^{\infty}\frac{nx}{(n^2+x)^2}-\frac{1}{2}\right|\leq \frac{a}{x}}\).

Niech \(\displaystyle{ ABC}\) będzie trójkątem o bokach \(\displaystyle{ a,b,c}\) oraz niech \(\displaystyle{ R}\) będzie promieniem okręgu opisanego na tym trójkacie. Wykaż że

\(\displaystyle{ R\ge 2 \min(|a-b|,|b-c|,|c-a|)}\).

Zbadac zbieżność
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } e^{-x \cdot \sin^{2}x} \mbox{d}x}\)

Pokaż że \(\displaystyle{ \arcsin (\tg x)=\arctg\frac{\sin x}{\sqrt{\cos 2x}}}\) gdy \(\displaystyle{ |x|<\frac{\pi}{4}}\).

Na płaszczyźnie umieszczamy trójkąty. Trójkąty te traktujemy jako zbiór punktów płaszczyzny zawartych wewnątrz trójkąta wraz z bokami tego trójkąta. Wykaż że istnieje taki układ trójkątów, z których każde dwa są rozłączne, który pokryje całą płaszczyznę.

Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie punktem wewnetrznym trójkta \(\displaystyle{ BCD}\) tak że \(\displaystyle{ AB \cdot CD = AD \cdot BC}\). Punkt \(\displaystyle{ P}\) jest punktem symetrycznym do \(\displaystyle{ A}\) względem \(\displaystyle{ BD}\). Wykaż że \(\displaystyle{ \angle PCB = \angle ACD.}\)

W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\), punkty \(\displaystyle{ E,F}\) leżą odpowiednio na \(\displaystyle{ BC,AC}\) tak że \(\displaystyle{ AB=AF=CE}\) oraz \(\displaystyle{ BE=CF}\). Wyznacz x jeśli \(\displaystyle{ \angle ACB=2x}\) oraz \(\displaystyle{ \angle AEF=x}\).

Wyznacz resztę z dzielaenia sumy \(\displaystyle{ 1! + 2! + ... + 2018!}\) przez \(\displaystyle{ 2018}\).

1. O ostrosłupie trójkątnym ABCO wiadomo, że \angle AOB + \angle BOC + \angle COA> \pi. Wykazać, że każda z krawędzi OA, OB i OC ma długość mniejszą niż połowa obwodu trójkąta ABC . 2. Niech p,n \neq 0 naturalne oraz p\ge2 . Niech a bedzie liczba rzeczywistą taką że 1\le a <a+n \le p . Pokaż że zbió...

A jak to "zauważyć" ?

Dane są punkty na płaszczyźnie \(\displaystyle{ A, B, C, D, E}\) takie, że \(\displaystyle{ BE}\) jest dwusieczną kąta \(\displaystyle{ ABC}\) oraz \(\displaystyle{ \angle AEB=\angle CEB,\:\angle BAC+\angle BDC=\angle ABD+\angle ACD}\) i \(\displaystyle{ \angle ADC=48^\circ}\). Oblicz \(\displaystyle{ \angle BCA}\).