Matematyka.pl

Rozważmy przedział \(\displaystyle{ [m,n]}\) o długości \(\displaystyle{ m−n>2 \sqrt[3]{4} .}\)
Wykaż ze nie istnieją liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a , b, c}\) takie że \(\displaystyle{ |x^3+ax^2+bx+c| \le 1}\) dla każdego \(\displaystyle{ x∊[m,n]}\).

Dany jest trójkat \(\displaystyle{ ABC}\), gdzie kąty \(\displaystyle{ |\angle ABC|= 30^o,\ |\angle BCA| = 15^o,}\) oraz \(\displaystyle{ M}\) jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ BC}\). Niech \(\displaystyle{ N \in BC}\) tak ze \(\displaystyle{ |NC| = |AB|}\). Wykaż że \(\displaystyle{ AN}\) jest dwusieczną kąta \(\displaystyle{ MAC}\).

Dany jest czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) taki że \(\displaystyle{ |AB|=|AD|=1}\) oraz kąt \(\displaystyle{ |\angle BAD|=90^o}\). Niech \(\displaystyle{ CB=c, CA=b}\) oraz \(\displaystyle{ CD=a}\). Wykaż
że \(\displaystyle{ (a−c)^2\le 2b^2\le(a+c)^2}\).

Niech dla każdej liczby naturalnej n>0 zachodzi \(\displaystyle{ NWW[n, n + 1] > NWW[n, n + 2] >...> NWW[n, n + 35]}\). Wykaż że\(\displaystyle{ NWW[n, n + 35] > NWW[n,n + 36].}\)

Udowodnij, że \(\displaystyle{ |\cos{x}|+|\cos{2x}|+|\cos{3x}|+|\cos{4x}|\ge 1+\frac{ \sqrt{3} }{2}}\).

Niech \(\displaystyle{ f(x)=a_nx^n+a_{n−1}x^{n−1}+...+a_1x+a_0}\) oraz niech a,b,c będą trzema różnymi liczbami całkowitymi takimi że \(\displaystyle{ f(a)=b,f(b)=c,f(c)=a}\). Pokaż że istnieje co najmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ a_0,a_1,...a_n}\) jest całkowita.

klimat pisze: ↑

23 maja 2020, o 07:33

Pokaż że, dla każdych dwóch liczb naturalnych \(\displaystyle{ (a,b)}\) istnieją dwie liczby naturalne \(\displaystyle{ S>x}\) takie że \(\displaystyle{ \binom{S}{2}=x(a-b)+Sb.}\)

Uściślenie odnośnie x.

Pokaż że, dla każdych dwóch liczb naturalnych \(\displaystyle{ (a,b)}\) istnieją liczby naturalne \(\displaystyle{ S>x}\) takie że \(\displaystyle{ \binom{S}{2}=x(a-b)+Sb.}\)

Wykaż że \(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n}\dbinom{n}{k}^{-1} = \frac{n+1}{2^{n+1}} \sum_{k=0}^{n}\frac{2^{k+1}}{k+1}}\).

Pokaż, że istnieje takie \(\displaystyle{ a>0}\), że dla kazdego \(\displaystyle{ x \in [1, \infty)}\) mamy
\(\displaystyle{ \left|\sum_{n=1}^{\infty}\frac{nx}{(n^2+x)^2}-\frac{1}{2}\right|\leq \frac{a}{x}}\).

Niech \(\displaystyle{ ABC}\) będzie trójkątem o bokach \(\displaystyle{ a,b,c}\) oraz niech \(\displaystyle{ R}\) będzie promieniem okręgu opisanego na tym trójkacie. Wykaż że

\(\displaystyle{ R\ge 2 \min(|a-b|,|b-c|,|c-a|)}\).

Zbadac zbieżność
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } e^{-x \cdot \sin^{2}x} \mbox{d}x}\)

Pokaż że \(\displaystyle{ \arcsin (\tg x)=\arctg\frac{\sin x}{\sqrt{\cos 2x}}}\) gdy \(\displaystyle{ |x|<\frac{\pi}{4}}\).

Na płaszczyźnie umieszczamy trójkąty. Trójkąty te traktujemy jako zbiór punktów płaszczyzny zawartych wewnątrz trójkąta wraz z bokami tego trójkąta. Wykaż że istnieje taki układ trójkątów, z których każde dwa są rozłączne, który pokryje całą płaszczyznę.

Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie punktem wewnetrznym trójkta \(\displaystyle{ BCD}\) tak że \(\displaystyle{ AB \cdot CD = AD \cdot BC}\). Punkt \(\displaystyle{ P}\) jest punktem symetrycznym do \(\displaystyle{ A}\) względem \(\displaystyle{ BD}\). Wykaż że \(\displaystyle{ \angle PCB = \angle ACD.}\)