Matematyka.pl

Wykaż ze \(\displaystyle{ \cos x+ \cos y\le1+\cos(xy)}\) dla \(\displaystyle{ x,y\in\left[ 0;\frac{\pi}{3}\right]. }\)

Czy istnieje wielościan wypukły, który spełnia następujące cztery warunki
a) Wielościan ma co najmniej 2022 wierzchołki.
b) Każda z jego krawędzi ma co najmniej 1 cm długości.
c) Żadna z jego ścian nie jest trójkątem.
d) Wielościan znajduje się wewnątrz kuli o promieniu 2 cm.

Wykaż ze funkcja\[f(x)=\frac{1}{2^x+1}+\frac{1}{3^x+1}+\frac{1}{6^x+1}-\frac{1}{4^x+1}-\frac{1}{9^x+1}\]jest malejąca.

Wykaż że

Niech \(\displaystyle{ D}\) będzie punktem wewnątrz trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) takim, że \(\displaystyle{ |AC| -|AD| \geq 1}\) i \(\displaystyle{ |BC|- |BD| \geq 1}\). Udowodnij, że dla dowolnego punktu \(\displaystyle{ E}\) na odcinku \(\displaystyle{ AB}\) mamy \(\displaystyle{ |EC| -|ED| \geq 1.}\)

Oblicz resztę z dzielenia \(\displaystyle{ \sum_{x=1}^{103} x^{3}(x+1)^{3}}\) przez \(\displaystyle{ 105^2}\).

Wielokąt wypukły podzielony jest na skończenie wiele czworokątów. Udowodnij, że przynajmniej jeden z tych czworokątów musi być również wypukły.

Niech \(\displaystyle{ S}\) będzie zbiorem liczb całkowitych \(\displaystyle{ x^2+3xy+8y^2}\), gdzie \(\displaystyle{ x, y}\) całkowite. Uzasadnij że jeśli \(\displaystyle{ a,b \in S,}\) to \(\displaystyle{ ab \in S.}\)

timon92 pisze: ↑12 wrz 2022, o 17:341

czemu

Korzystając z rysunku, oblicz \(\displaystyle{ \frac{EC}{AE+ED}}\)

Ja akurat nie jestem biegły w trygonometrii. Gdyby się udało wykazać, że \(\sin\frac{4\pi}{30}\;\sin\frac{8\pi}{30}=\sin\frac{3\pi}{30}\;\sin\frac{13\pi}{30}\), tobyśmy znali wszystkie kąty w trójkącie \(SD'E'\), a w konsekwencji także kąty w trójkącie \(ABC\). Póki co nie mam dowodu tej tożsamości...

Czy możesz objaśnić skąd ta równość z sinusami?

Trygonometria też może być.

W trójkącie ABC niech D i E będą przecięciami dwusiecznych kątów ABC i ACB z bokami odpowiednio AC i AB . Wiedząc, że miary w stopniach kątów BDE i CED są równe odpowiednio 24 i 18 , oblicz różnice w stopniach między miarami dwóch najmniejszych kątów tego trójkąta. Kąt CAB=96^\circ.

Nie mam rozwiązania, ale wydaje mi się, że może N jest środkiem ciężkości trójkata KOD i jakby to była prawda....