Matematyka.pl

\(\displaystyle{ V = {(x-y, z-x, x+y-2z, y-z) : x,y,z \in \RR }}\)
Problem jest taki, że wychodzi, iż wektory utworzone z powyższego są liniowo zależne (wyszła mi tożsamość przy sprawdzaniu liniowości \(\displaystyle{ 0=0}\) ) i w takim razie co zrobić z takim przypadkiem, nie da się znaleźć bazy i określić wymiaru?

Wektory u1, u2, u3 tworzą bazę przestrzeni liniowej. Uzasadnij, że wektory:
v_{1} = u _{1} +u_{2}, v_{2}= u_{1} -2u_{2}, v_{3} = u_{2} - 2u_{3}
również tworzą bazę tej przestrzeni.

Proszę o małe nakierowanie w tym zadaniu, o ile się nie myle należy sprawdzić dwa warunki, czy wektory są liniowo ...

Znaleźć macierz formy kwadratowej \(\displaystyle{ A(x) = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} - x_{4}^{2}}\) w bazie \(\displaystyle{ B = \left\{ (1,1,0,0), (1,0,1,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)\right\}}\)
Mógłby ktoś wytłumaczyć jak to zrobić?

rzA= \left[
\begin{array}{cccc}
2 & -1 & -3 & 4\\
4 & -2 & 5 & 6 \\
6 & -3 & 7 & 8 \\
p & -4 & 9 & 10 \\
\end{array}
\right]
Wiem, że istnieje metoda minorów ale tutaj chyba nie zadziała tak jak trzeba. Czy mógłby ktoś wytłumaczyć jakoś jak to obliczyć i tak krok po kroku do czego trzeba ...

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{3^{n}+n}{n3^{n}+2^{n}}}\)

Mógłby ktoś pomóc w rozwiązaniu?

\(\displaystyle{ z = (2+x-3y)^{4}}\), w punkcie wspólnym wykresu i osi Oz;

Gdy mam podane punkty potrafię obliczać takie przykłady, mógłby ktoś wskazać mi jakąś ścieżkę jak wyznaczyć ten punkt? Bo jak będę miał punkt to z resztą sobie już poradzę.

Wielościan wypukły ma ściany kwadratowe i sześciokątne, a w każdym wierzchołku stykają się trzy
ściany. Ile ma ścian kwadratowych?

\begin{cases} W-K+S=2 \\ S=S_{4} + S_{6} \\ 2K=3W \\2K=4S_{4}+6S_{6} \end{cases}

O ile rozumiem skąd bierze się 1 i 2 równanie, tak nie wiem skąd to 2K = 3W, bo żeby ...

Czy można 10 miast połączyć nieprzecinającymi się drogami, tak aby z każdego miasta wychodziło
5 dróg prowadzących do 5 innych miast?

Tu chodzi o to, żeby skorzystać ze wzoru sprawdzającego planarność, że W-K+S=2 ?

W takim razie:
W=10, K=5^{10} i teraz nie wiem za bardzo jak policzyć liczbę ...

Sprawdź planarność poniższych grafów:
(grafy w linku)

Graf jest planarny wtedy gdy spełnia dwa kryteria/twierdzenia:
1. Kuratowskiego
2. Eulera

I teraz prosił bym o zweryfikowanie moich uzasadnień dotyczących właśnie planarności powyższych grafów.

Graf nr 1:
- nie jest planarny, ponieważ ...

\(\displaystyle{ L: R ^{3} \rightarrow R^{2}}\) takiego, że: \(\displaystyle{ L(1,0,0) = (2,1), L(1,1,0) = (3,2), L(1,1,1) = (1,4)}\)
Mógłby ktoś to wytłumaczyć tak na chłopski rozum, bez skomplikowanych twierdzeń?

Bo to miało być (7,9,8), wtedy wychodzi a=3 oraz b=2 i teraz nie za bardzo wiem co dalej zrobić.
Skorzystaj z liniowości odwzorowania L

L(7,9,8) = aL(1,1,2)+bL(2,3,1) = a \cdot (5,4) + b \cdot (1,6)

gdzie a,b to rozwiązania układu równań:

\begin{cases}a+2b = 7\\a+3b=9\\2a+b=8\end{cases ...

Znajdź takie liczby rzeczywiste a,b , że
(7,8,9)= a\cdot (1,1,2)+b \cdot (2,3,1)
i skorzystaj z tego, że
L(a\cdot v+b\cdot w)=a\cdot L(v)+b\cdot L(w)
dla dowolnych skalarów a,b i wektorów u,v (czyli po prostu z liniowości przekształcenia L ).
Skalary a,b znajdujesz, rozwiązując układ równań ...

Przekształcenie L jest przekształceniem liniowym takim, że \(\displaystyle{ L(1,1,2) = (5,4), L(2,3,1) = (1,6)}\)
Obliczyć \(\displaystyle{ L(7,8,9)}\) i \(\displaystyle{ L(3,4,3)}\)

Mógłby mi ktoś wytłumaczyć o co chodzi z tym wzorem przekształceń liniowych? Bo to jest pewnie banalne ale nie ma nigdzie tego wytłumaczonego na ludzki język

(3,2,1) , V=lin\left\{ \left( 1,0,1\right), \left( 1,1,0\right) \right\}

1. Należy sprawdzić czy istnieje kombinacja liniowa wektorów \left( 1,0,1\right), \left( 1,1,0\right) , która daje wektor \left( 3,2,1\right)

a\left( 1,0,1\right) + b\left( 1,1,0\right) = \left( 3,2,1\right)
\begin ...

B=\left\{ \left( 2,5\right),\left( 3,1\right),\left( 6,7\right) \right\} , R ^{2}

Proszę o wytłumaczenie metody działania, wiem że jeden z warunków to spradzenie czy są liniowo niezależne (to rozumiem).
Drugi warunek to czy "generują całą przestrzeń" <- tutaj nie mam pojęcia co to może oznaczać.