Matematyka.pl

V jest podprzestrzenią liniową R^3 wymiaru 2, bo równanie x+2y-z=0 opisuję pewną płaszczyznę w R^3 . Zatem baza przestrzeni V będzie złożona z 2 wektorów. Jak je znaleźć? Wektory te muszą oczywiście należeć do V , zatem z podanych czterech musisz wybrać takie, które spełniają równanie x+2y-z=0 . Po...

Na brzegu okręgu masz, że x^2 + y^2 = 4 , więc f przyjmuje tam postać f(x, y) = (x^2 + y^2) - 2y + 1 = 5 - 2y . Zatem na brzegu tego koła f zależy tylko od y , a wiemy, że y \in \left[ -2, 2\right] , stąd na brzegu f przyjmuje wartość najmniejszą w y = 2 , czyli 1 , największą w y = -2 , czyli 9 . S...

Zbiór H to domknięte koło. Jest to zbiór zwarty, więc funkcja f na pewno przyjmuje na nim swoje kresy. Gdy już to wiemy, możemy osobno zbadać zachowanie funckji f na brzegu tego koła, tj. gdy x^2 + y^2 = 4 i wewnątrz, tj. gdy x^2 + y^2 < 4 . Wnętrze H jest zbiorem otwartym, a f różniczkowalna, więc ...

Tak, chociaż nie do końca. Być może miałeś w szkole średniej mówione, że gdy nie widać pierwiastków wielomianu o wyrazach rzeczywistych od razu, ani nie potrafi się jakoś sprytnie pogrupować wyrazów, warto sprawdzić, czy nie są nimi dzielniki wyrazu wolnego wielomianu (w równaniu, które masz do poli...

Tak. Widzisz już stąd jak powinien wyglądać ten zbiór?

Ostatni czynnik można rozłożyć, ale coś musiałeś źle policzyć, bo \pm 4i to zły wynik. To, że -i jest pierwiastkiem tego wielomianu wynika z twierdzenia, że jeśli jakaś liczba zespolona o niezerowej części urojonej jest pierwiastkiem wielomianu, to jest nim też liczba do niej sprzężona. Więc jeśli w...

Mamy \left| (1+i)z - 1 + i\right| . Możemy wyciągnąć czynnik 1 + i : \left| (1 + i)(z - \frac{1 - i}{1 + i} ) \right| \le 2\sqrt{2} Teraz korzystamy z tego, że moduł iloczynu, to iloczyn modułów: \left|(1+i)\right| \left|(z - \frac{1 - i}{1 + i})\right| \le 2\sqrt{2} Gdy lewą stronę nierówności mamy...

Tak, to wystarczy.

Wskazówka do drugiego równania: można zauważyć, że pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ i}\), bo \(\displaystyle{ i^6 - 5i^4 + 2i^2 + 8 = -1 -5 -2 + 8 = 0}\). Później wszystko się ładnie grupuje. Spróbuj to rozpisać.

Tak, w liczbach zespolonych mamy: \(\displaystyle{ \Delta = 1 - 4 = -3}\).
Zatem rozwiązania to:

\(\displaystyle{ z_1 = \frac{-1 \pm \sqrt{-3} }{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{(-1) * 3} }{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{3i^2 } }{2} = \frac{-1 \pm i \sqrt{3}}{2}}\)

Jeśli dany wielomian rozważasz w ciele liczb zespolonych, to z^2 + z + 1 ma jeszcze 2 pierwiastki, które można znaleźć w standardowy sposób - licząc deltę i korzystając z zależności i^2 = -1 . W przeciwnym przypadku więcej pierwiastków nie znajdziesz, bo np. nad ciałem liczb rzeczywistych z^2 + z + ...

Wygląda na to, że wszystko jest ok

tak

to \(\displaystyle{ z = -1}\) bierze się stąd:

\(\displaystyle{ z - i = iz + i^2}\)

\(\displaystyle{ z - i = iz - 1}\)

\(\displaystyle{ z - iz = i - 1}\)

\(\displaystyle{ z(1-i) = -(1-i)}\)

\(\displaystyle{ z = -1}\)

Zadanie, które masz zrobić, rzeczywiście można zrobić podobnie, więc mam nadzieję, że już sobie poradzisz

Niestety, nie znam definicji transformaty. Ale jeśli chodzi o ten rozkład na ułamki proste, to chyba coś z nim jest nie tak. Domyślam się, że s \in \CC , więc mógłbyś wyrażenie z mianownika zapisać jako s^2 - 2s + 4 i znaleźć pierwiastki zespolone s_0 i s_1 . Wtedy mógłbyś zapisać to wyrażenie jako ...

1) Nie do końca rozumiem pytanie. Z definicji, jeśli funkcję f rozwiniemy w szereg Laurenta wokół punkty p , tj. f(z) = \sum_{n \in \ZZ} c_n(z - p)^n i k(p) = inf\left\{ i \in \ZZ : c_i \neq 0\right\} , to f ma w p biegun rzędu \left| k\right| , jeśli k(p) < 0 i k(p) > -\infty . O co więc chodzi z p...