Matematyka.pl

Mam znaleźć najmniejszą i największą wartość jaką funkcja:
\(\displaystyle{ f(x,y)=x^2+y^2-2y+1}\) przyjmuje w \(\displaystyle{ H=\{(x,y)|x^2+y^2\le4\}}\)
Nie wiem jak się do tego zabrać.

Z góry dzięki, pozdrawiam

Zbiór \(\displaystyle{ H}\) to domknięte koło. Jest to zbiór zwarty, więc funkcja \(\displaystyle{ f}\) na pewno przyjmuje na nim swoje kresy. Gdy już to wiemy, możemy osobno zbadać zachowanie funckji \(\displaystyle{ f}\) na brzegu tego koła, tj. gdy \(\displaystyle{ x^2 + y^2 = 4}\) i wewnątrz, tj. gdy \(\displaystyle{ x^2 + y^2 < 4}\). Wnętrze \(\displaystyle{ H}\) jest zbiorem otwartym, a \(\displaystyle{ f}\) różniczkowalna, więc możemy tam policzyć gradient i sprawdzić, w jakich punktach się zeruje. Na brzegu korzystamy z tego, że \(\displaystyle{ x^2 + y^2 = 4}\)

Wewnątrz wyszło mi minimum w punkcie \(\displaystyle{ f(0,1)=0}\).
Jak teraz sprawdzić wzdłuż tego okręgu?

Na brzegu okręgu masz, że \(\displaystyle{ x^2 + y^2 = 4}\), więc \(\displaystyle{ f}\) przyjmuje tam postać \(\displaystyle{ f(x, y) = (x^2 + y^2) - 2y + 1 = 5 - 2y}\). Zatem na brzegu tego koła \(\displaystyle{ f}\) zależy tylko od \(\displaystyle{ y}\), a wiemy, że \(\displaystyle{ y \in \left[ -2, 2\right]}\), stąd na brzegu \(\displaystyle{ f}\) przyjmuje wartość najmniejszą w \(\displaystyle{ y = 2}\), czyli \(\displaystyle{ 1}\), największą w \(\displaystyle{ y = -2}\), czyli \(\displaystyle{ 9}\). Stąd masz już kresy.