Matematyka.pl

Skoro jest źle sformułowane to mogą dawać nawet maksa, więc spokojnie

Stwierdzam,że ostrosłupy ABCDE i A'B'C'D'E są podobne.

a=\(\displaystyle{ 10}\)
h=\(\displaystyle{ 6\sqrt{3}}\)
x=\(\displaystyle{ a\sqrt{3}}\)
y=\(\displaystyle{ a}\)

\(\displaystyle{ a_{1}}\)=\(\displaystyle{ k*a\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ b_{1}}\)=\(\displaystyle{ k*a}\)
\(\displaystyle{ c_{1}}\)=\(\displaystyle{ h-k*h}\)

\(\displaystyle{ P_{b}}\)=\(\displaystyle{ 2* a_{1}*c _{1} +2*b _{1}*c_{1}}\)

\(\displaystyle{ P_{b} (k)=2*k*a\sqrt{3}*(h-k*h)+2*k*a*(h-k*h)}\)
\(\displaystyle{ P_{b}(k)=2*k*10\sqrt{3}*( 6\sqrt{3}-k*6\sqrt{3})+2*k*( 6\sqrt{3}-k*6\sqrt{3})}\)
\(\displaystyle{ P_{b}(k)=360k-360 k^{2}+120 k\sqrt{3} -120 k^{2}\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ P_{b}(k)=(-360- 120\sqrt{3}) k^{2}+(360+120\sqrt{3})k}\)

\(\displaystyle{ P_{b}'(k)=(-720- 240\sqrt{3}) k+(360+120\sqrt{3})}\)
\(\displaystyle{ P_{b}'(k)=0}\)
\(\displaystyle{ k= \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ a_{1}}\)=\(\displaystyle{ 5\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ b_{1}}\)=\(\displaystyle{ 5}\)
\(\displaystyle{ c_{1}}\)=\(\displaystyle{ 3 \sqrt{3}}\)


Tak zrobiłeś? Bo nie byłam pewna swojego rozwiązania. Później zamieszczę do kolejnych zadań. Mógłbyś napisać jak zrobiłeś to drugie?

Zadanie 3 z zakresu podstawowego klasa I LO, I Technikum. Z pewnego zakładu wyjechały w tym samym kierunku trzy samochody: ciężarówka o godzinie 8, furgonetka o godzinie 12 i samochód osobowy o godzinie 13. Samochód osobowy dogonił furgonetkę o godzinie 15, a ciężarówkę o 15:30. O której godzinie furgonetka dogoni ciężarówkę?

Prosiłbym o rozwiązanie

Prawie tak samo robiłem. O drugim ciężko mi coś napisać, ponieważ założyłem coś o czym w zadaniu mowy nie było:) Przedłużenia ramion przetną się w pewnym punkcie E, prowadzimy przez niego prostą równoległą do podstaw trapezu. Punkty przecięcia tej prostej z przedłużeniami przekątnych oznaczmy przez F,G. Szukam FG=FE+EG. Z tw.Talesa b/a=ED/EA=EC/EB. Dalej trójkąty ABD~DEF oraz ABC~CEG. Układamy stosunki i liczymy FE oraz EG. Wynik wyszedł 2ab/(a-b) chyba

\(\displaystyle{ v_{1}}\) - prędkość ciężarówki
\(\displaystyle{ v_{2}}\) - prędkość furgonetki
\(\displaystyle{ v_{3}}\) - prędkość samochodu osobowego

x-szukana godzina

\(\displaystyle{ v= \frac{s}{t}}\)
s=v*t
\(\displaystyle{ \begin{cases} (15-13)*v _{3} =(15-12)* v_{2} \\ (15 \frac{1}{2}-13)*v _{3}=(15 \frac{1}{2}-8)*v _{1}\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2* v_{3}=3*v _{2} \\ \frac{5}{2} *v _{3} = \frac{15}{2}*v_{1} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} v_{3}= \frac{3}{2} *v _{2} \\ v_{3} =3*v _{1} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ 3* v_{1} = \frac{3}{2}* v_{2}}\)
\(\displaystyle{ v_{1}= \frac{1}{2}* v_{2}}\)
\(\displaystyle{ (x-8)* v_{1} =(x-12)*v _{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{x-8}{2} *v _{2} =(x-12)*v_{2}}\)
x-8=2x-24

x=16

Furgonetka dogoni ciężarówkę o godzinie 16-- 21 marca 2010, 15:41 --:) Zadanie 1 - poziom trzeci rozszerzony

\(\displaystyle{ 3^{2x}-4*3^{x}+p=0}\) , \(\displaystyle{ p \in C}\)
\(\displaystyle{ t=3 ^{x} , t>0}\)
\(\displaystyle{ t ^{2}-4*t+p=0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} t>0 \\ \Delta>0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} t_{1}*t _{2}>0 \\ t_{1}+t _{2}>0\\ \Delta>0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{c}{a} >0 \\ - \frac{b}{a} >0\\ \ 16-4*p>0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} p>0 \\ 4 >0\\ \p<4\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ p \in}\){1,2,3}

Sprawdzam 3 przypadki p i okazuje się,że tylko dla p=3 równanie ma dwa rozwiązania całkowite.

\(\displaystyle{ t ^{2}-4*t+3=0}\)
\(\displaystyle{ (t-3)(t-1)=0}\)
\(\displaystyle{ t=1 \vee t=3}\)
\(\displaystyle{ 3 ^{x} =1 \vee 3 ^{x}=3}\)
\(\displaystyle{ x=0 \vee x=1}\)


Zadanie 3 - poziom trzeci rozszerzony

Szukamy dziedziny:
\(\displaystyle{ \begin{cases} sin2x>0 \\ sin2x \neq 1 \\ cos2x>0 \\ cos2x \neq 1 \end{cases}}\)

Dziedzina wyszła chyba
\(\displaystyle{ D= \sum_{ -\infty }^{ \infty } (0+k* \pi ; \frac{ \pi }{4} + k* \pi ) , k \in C}\)


\(\displaystyle{ log_{sin2x}cos2x+log _{cos2x} sin2x=2}\)
\(\displaystyle{ log_{sin2x}cos2x+ \frac{log _{sin2x}sin2x }{log _{sin2x}cos2x} =2}\)
\(\displaystyle{ log_{sin2x}cos2x+ \frac{1}{log _{sin2x}cos2x} =2}\)
\(\displaystyle{ t=log_{sin2x}cos2x}\)
\(\displaystyle{ t+ \frac{1}{t}=2}\)
\(\displaystyle{ t^{2}-2t+1=0}\)
\(\displaystyle{ (t-1) ^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ t=1}\)
\(\displaystyle{ log_{sin2x}cos2x=1}\)
\(\displaystyle{ sin2x=cos2x}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{8} + \frac{k \pi }{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{8} + \frac{k \pi }{2} \ge 0 \wedge \frac{ \pi }{8} + \frac{k \pi }{2} \le 2010}\)
\(\displaystyle{ k \in}\){0,1,2,...,639}

S-suma rozwiązań

\(\displaystyle{ S=640* \frac{ \pi }{8} + \frac{ \pi }{2} (0+1+2+...+639)}\)
\(\displaystyle{ S=80 \pi +639*160 \pi}\)
\(\displaystyle{ S=102320 \pi}\)

Zadanie 4 - poziom trzeci rozszerzony

Udowadniamy, że zdarzenie X zajdzie jedynie wtedy gdy obie wylosowane liczby przy dzieleniu przez 3 dadzą resztę 1 lub obie wylosowane liczby przy dzieleniu przez 3 dadzą resztę 2.

\(\displaystyle{ P(X)= \frac{ C_{n}^{2} + C_{n}^{2}}{ C_{3n}^{2}}}\)
\(\displaystyle{ P(X) \le 0,21}\)

\(\displaystyle{ 2* \frac{n!}{2!*(n-2)!} * \frac{2!*(3n-2)!}{3n!}= \frac{2n*(n-1)}{3n*(3n-1)} \le 0,21}\)

\(\displaystyle{ n \le 12,(45)}\)
\(\displaystyle{ n \in}\) {1,2,3,...,12}

3n- ilość liczb w zbiorze Z

\(\displaystyle{ 3n \in}\) {3,6,9,...,36}

W tym 3 wydaję mi się, że rozwiązania dla k nieparzyste nie należą do dziedziny.

Hmm wykres był dwukrotnie zwężony i wykres z \(\displaystyle{ 2k\pi}\) zmienił się na \(\displaystyle{ k\pi}\) no ale mogłam się tam pomylić. Mam nadzieję,że szybko umieszczą kryteria oceniania oraz decyzję w sprawie drugiego zadania...-- 25 marca 2010, 16:21 --Ciekawe dlaczego jeszcze nie zamiescili tych kryteriów oceniania... normalnie to zamieszczaja zaraz po konkursie

Opublikowano zadania i kryteria oceniania, nie rozumiem jednak dlaczego teraz zmienili ich treść. Na kartkach które dostaliśmy, zadanie 2 kończy się " przedłużenia ramion", w opublikowanych zadaniach na stronie kuratorium jest napisane "Przedłużenia przekątnych". Nie przyznają się też do błędu i nie piszą o ulgach dla uczestników. Dlaczego?

...

lepiej nawet nie myśleć o organizacji tego konkursu... W tym roku zostalam laureatką i jestem totalnie zażenowana. Juz nigdy nie mam zamiaru brać udziału w tym konkursie. nagrody dostali TYLKO laureaci z Krakowa... czy naprawdę miasta Kraków nie stać na kilka nagród więcej??? O finalistach w ogóle zapomnieli i dopiero jak jedna dziewczyna sie zapytala czy nie dostana nawet dyplomow, to łaskawie rozdali, ale tylko tym z krakowa... po co w takim razie kazali przyjeżdzac? Mogli w regulaminie napisać, że nagrody są przewidziane tylko dla uczniów z Krakowa, a na pewno nie mieliby problemu z uczniami z innych miejscowości, bo nikt nie brałby udziału . nie chodzi mi w żadnym razie o ta marną nagrodę (bo w tamtym roku dostalam prawie same ulotki o małopolsce) tylko o sparaweidliwe traktowanie wszystkich uczniów bez względu na pochodzenie... A wszędzie się mówi o wyrównywaniu szans....