Matematyka.pl

I już po finale, tradycyjnie zadanka

1. Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ x!+y!=z!}\) w zbiorze liczb całkowitych nieujemnych.

2. Pewien człowiek udał się do banku, żeby podjąć x złotych i y groszy. Zamiast żądanej kwoty wypłacono mu jednak y złotych i x groszy. Po wydaniu jednej złotówki stwierdził, że ma i tak jeszcze dwa razy więcej pieniędzy, niż zlecił, by bank mu wypłacił. Jaką kwotę zamierzał ów człowiek podjąć z konta?

3. Czy istnieje trójkąt, którego wysokości mają długości:
\(\displaystyle{ \sqrt{2006},\:\sqrt{2007},\: \sqrt{2006}+\sqrt{2007}}\)
Odpowiedź uzasadnij

4. Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), w którym \(\displaystyle{ |AC|>|AB|}\). Punkt \(\displaystyle{ M}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ BC}\), a punkt \(\displaystyle{ N}\) jest rzutem prostokątnym punktu \(\displaystyle{ A}\) na prostą \(\displaystyle{ BC}\). Wykazać, że:
\(\displaystyle{ |AC|^2-|AB|^2=2|MN|\cdot |BC|}\)

5. Wykazać, że jeżeli a, b, c są długościami boków trójkąta, p - połową obwodu, zaś r - długością promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt, to
\(\displaystyle{ \frac{1}{(p-a)^2}+\frac{1}{(p-b)^2}+\frac{1}{(p-c)^2}\geq \frac{1}{r^2}}\)

Moje odczucia: bardzo mało czasu

Mój wynik: wszystko oprócz 3

Fajne zadanka Czasu faktycznie mogło zabraknąć co poniektórym. Lorek można już szampana otwierać?

nie no lightowe byly
1. trzeba pamietac ze 0!=1
2. spoko wodza tylko dosc duze rachunki jak na moj brak kalkulatora.
3. bardzo sie zdziwilem ze sie da zbudowac taki trojkat, bo zazwyczaj sie nie da jesli jest takie polecenie w zadaniu
4. o wiele prostrze niz sie wydaje na pierwszy rzut oka.
5. to juz ciekawsze, ale i tak latwo poszlo.

Jakie były nagrody

dostalem 2 stopnia laureata przez glupi blad, no ale bylo minelo.
ksiazkowe tylko,
za 3 stopnia dawali courliandchiki kraine nierownosci tak na zachete rozne ksiazki dawali, byly chyba tez zlote rybki, choc dokladnie nie wiem.
za 2 stopnia dostalem "kacik olimpijski - czesc 1 geometria" i "o liczbach, funkcjach i figurach"
za 1 stopien bylo "elementarne metody w zadaniach" (czy jakos tak) tom 1 i 2
Kourliandtchika.

A jak zrobić piąte zadanie??

5 robi sie korzystajac z tego, ze \(\displaystyle{ P=pr=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}\) i z tego wyznaczasz \(\displaystyle{ \frac{1}{r^{2}}}\). Gdy juz to masz to korzystajac z tego, ze:\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant ab+ac+bc}\) otrzymujesz zadana nierownosc.