[Katowice] Śląski Konkurs Matematyczny 2007

Post autor: **Lorek** » 6 lut 2007, o 14:10

Po raz kolejny (dokładnie 4.) odbył się I etap ŚKM, (więcej o nim w innych tematach w tym dziale) - dla zainteresowanych zamieszczam zadania

Zad. 1.

Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą oraz \(\displaystyle{ p>3}\), to liczba \(\displaystyle{ p^2-1}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 24}\)

Zad. 2.

Oblicz pole trapezu prostokątnego wiedząc, że odległości środka okręgu wpisanego w ten trapez od końców ramienia nie prostopadłego do podstaw wynoszą \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ 2a}\)

Zad. 3.

Liczbę 2007 przedstaw w postaci różnicy kwadratów dwóch liczb naturalnych. Ile rozwiązań ma to zadanie? Odpowiedź uzasadnij

Zad. 4.

Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ a,b}\) są takimi liczbami dodatnimi, że \(\displaystyle{ ab\geq a+b}\) to \(\displaystyle{ a+b\geq 4}\)

Zad. 5.

Dany jest czworokąt wypukły \(\displaystyle{ ABCD}\). Okręgi wpisane w trójkąty \(\displaystyle{ ABD}\) i \(\displaystyle{ BCD}\) są styczne zewnętrznie. Wykaż, że istnieje okrąg styczny do każdego boku czworokąta \(\displaystyle{ ABCD}\)

Zadania jakie są, każdy widzi (2. to chyba było nawet na Matmixie w tym roku). Miłego rozwiązywania

Post autor: **DEXiu** » 6 lut 2007, o 14:48

1. jest niemal identyczne jak zad. 4 z zeszłorocznego finału ŚKM 2. było na Matmixie (tzn. z innymi danymi, ale sposób przecież identyczny), 3. bez komentarza, 4. chyba "najciekawsze" jeśli można tak rzec 5. również no comment
Dla formalności spytam: Lorek jak Ci poszło?

Post autor: **Lorek** » 6 lut 2007, o 14:52

Hmm no po godzince sobie skończyłem (a co się będę męczył ) Oczywiście wszystko zrobione i nawet dużo miejsca to nie zajęło (ale co się dziwić, jak połowa zadań "bez komentarza" )

kolanko · Post autor: **kolanko** » 6 lut 2007, o 15:16

1 zadanie bylo na marszala w tamtym roku a co do 3 to nie moge wpasc na pomysla

janosiks · Post autor: **janosiks** » 6 lut 2007, o 16:54

poważnie na 3 nie mogłeś wpaść??

w/g mnie można to zapisać jako

a^2-b^2=2007
(a-b)(a+b)=1*2007

układ równań
a-b=1
a+b=2007

rozwiązujesz i masz xD

ja jak oddawałem kartkę to wpadłem na pomysł jak zrobić to zadanie ... (lol)

Czesio · Post autor: **Czesio** » 6 lut 2007, o 16:59

Ale 2007 nie jest pierwsze.

Post autor: **Lorek** » 6 lut 2007, o 17:21

janosiks pisze:(a-b)(a+b)=1*2007

Czesio pisze:Ale 2007 nie jest pierwsze

To u innych osób, z którymi startowałem było akurat na odwrót: większość wypisała wszystkie mozliwości, ale tej akurat nie.

janosiks · Post autor: **janosiks** » 6 lut 2007, o 17:39

jakie są inne odpowiedzi w takim razie ?

Post autor: **Lorek** » 6 lut 2007, o 17:43

\(\displaystyle{ 2007=1\cdot 2007=3\cdot 669=9\cdot 223}\)
no i dalej już tak jak pisałeś.

janosiks · Post autor: **janosiks** » 6 lut 2007, o 18:09

ahhh faktycznie ;/

zapomniałem o tych 2 możliwościach

Post autor: **Tristan** » 6 lut 2007, o 20:12

Zadanie czwarte rzeczywiście jest ciekawe.
Skorzystamy tutaj z nierówności między średnią arytemtyczną i geometryczną, tj. \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2} q \sqrt{ab}}\), czyli \(\displaystyle{ a+b q 2 \sqrt{ab}}\). Z założenia mamy, że \(\displaystyle{ ab q a+b}\), więc \(\displaystyle{ a+b q 2 \sqrt{ab} q 2 \sqrt{a+b}}\). Czyli \(\displaystyle{ a+b q 2 \sqrt{ab}}\). Dzieląc obustronnie przez \(\displaystyle{ \sqrt{ab}}\) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ \sqrt{a+b} q 2}\), a podnosząc do kwadratu dostajemy tezę zadania, tj. \(\displaystyle{ a+b q 4}\).

kolanko · Post autor: **kolanko** » 6 lut 2007, o 21:25

Na 4 to nie wpadlem ....
BTW dzieki za 3 faktycznie banalne lama ze mnie ;D

qsiarz · Post autor: **qsiarz** » 6 lut 2007, o 21:50

w zeszlym roku byl laureat to teraz przydaloby sie podium zadania byly proste i 3 pierwsze w dodatku oklepane. na prosbe nauczyciela mojego pisalem mnostwo komentarzy, nawet twierdzenie pitagorasa przed zastosowaniem

janosiks · Post autor: **janosiks** » 6 lut 2007, o 22:02

qsiarz pisze:nawet twierdzenie pitagorasa przed zastosowaniem

to jedno zadanie rozpisane na 3 strony
pomyśl co przeżywać będą sprawdzający xD

Galactico · Post autor: **Galactico** » 6 lut 2007, o 22:19

Co do czwartego...

A co gdyby zrobić założenie, że \(\displaystyle{ a q b}\)
Wtedy wiemy, że \(\displaystyle{ a^{2} q ab q b^{2}}\)
I potem coś pokombinowałem, że wyszło mi \(\displaystyle{ b=2}\), a skoro \(\displaystyle{ a q b}\), to \(\displaystyle{ a + b q 4}\)
Ale nie wiem czy to był dobry sposób, czy tak można matematycznie, teraz za bardzo nie mam czasu (i ochoty) rozpisywać tego, ale może wiecie, czy to jest dobry sposób?