Matematyka.pl

Ogólnie jak tak patrzę, to dość standardowe zadania. Na razie przejrzałem pierwsze 3 i poszły dość szybko, zrobię sobie kawę i zaraz zobaczę 5 (bo prawdopodobieństwo nie jest mocną stroną).

5.

-- 19 kwi 2015, o 15:36 --Wszystkie oprócz \(\displaystyle{ 1}\)-go mi się podobały, bo było proste, ale żmudne dlatego nie dałem do niego rozwiązania (nota bene w nim się pomyliłem ). A jak poszło piszącym? Ile zadań zrobiliście?

Premislav pisze:

2.:    

Żenada. Dzieląc stronami przez \(\displaystyle{ x+y+z}\), co jest przekształceniem równoważnym, bo \(\displaystyle{ x+y+z>0}\), otrzymujemy \(\displaystyle{ \frac{x}{x+y+z} \frac{x^{2}}{(x+y)^{2}} + \frac{y}{x+y+z} \frac{y^{2}}{(y+z)^{2}} + \frac{z}{x+y+z} \frac{z^{2}}{(z+x)^{2}} \ge \frac{1}{4}}\).
Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f(t)= \frac{1}{(1+t)^{2}}}\). Mamy \(\displaystyle{ f''(t)= \frac{6}{(1+t)^{4}}>0}\). Zatem funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest wypukła, czyli na mocy nierówności Jensena dla \(\displaystyle{ f}\), wag \(\displaystyle{ \frac{x}{x+y+z}, \frac{y}{x+y+z}, \frac{z}{x+y+z}}\) i odpowiednio argumentów \(\displaystyle{ \frac{y}{x}, \frac{z}{y}, \frac{x}{z}}\) mamy, że
\(\displaystyle{ \frac{x}{x+y+z} \frac{x^{2}}{(x+y)^{2}} + \frac{y}{x+y+z} \frac{y^{2}}{(y+z)^{2}} + \frac{z}{x+y+z} \frac{z^{2}}{(z+x)^{2}} \ge f\left( \frac{y}{x+y+z}+ \frac{z}{x+y+z}+ \frac{x}{x+y+z} \right)=f(1)= \frac{1}{4}}\),
c.n.d.
Nie wiem, co mają na celu zadania, w których od razu widać, co robić, nawet gdy jest się takim tłumokiem jak ja.

Racja Vax, szukałem tej prostszej nierówności, ale nie udało mi się, więc Jensen akurat mnie ratował :/
Chyba się pomyliłem w liczeniu pochodnej, bo teraz bez problemu bym znalazł te współczynniki przy \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\).

O, to dużo ładniejsze rozwiązanie.
Może trochę przesadziłem, po prostu wydawało mi się, że w konkursach matematycznych jakaś tam wiedza nie powinna dawać przewagi, bo równie dobrze można by zrobić konkurs z wkuwania na pamięć tekstu wiersza. Ale w sumie po gimnazjum nawet nie brałem udziału w żadnych konkursach (matematycznych), więc może nie powinienem się na ich temat wypowiadać.

Matematyka raczej w tych czasach skłania się wyłącznie do wiedzy osoby i wkładu pracy. Zdolności są naprawdę na miernym miejscu w porównaniu do pracy, która się włożyło.

Zahion i inni, to źle czy dobrze, że najczęściej włożony wysiłek a nie wyłącznie zdolności mają znaczenie w matematyce? Osobiście odnoszę wrażenia na na wielu konkursach (w tym na Om-ie) ważne są wszystkie zajęcia dodatkowe na które się chodziło, książki jakie się czytało, zadania przerobione, to czy się miało jakiegoś mentora czy nie itd., ale również posiadanie tego czegoś, tej smykałki do matmy. Co więcej, wydaje mi się, że (nie)stety to często przesądza.
O swoim wyniku nie wspominam, bo nie ma o czym. Gratuluję przyszłym laureatom i wyróżnionym.

bakala - przecież \(\displaystyle{ \sin(15^{\circ}) = \sin(45^{\circ}-30^{\circ})}\), więc wystarczyły Ci Twoje wzory

Bym powiedział że nauka matematyki polega na zrozumieniu na swój własny sposób materiału tak by móc swobodnie kojarzyć różne fakty a nie na zapamiętywaniu definicji, wzorów i schematów. Jeśli przerabiamy dużo zadań to siłą rzeczy zapamiętujemy najczęściej występujące wzory, zależności. W ekonomiku dla profesora liczyło się m.in. jak szybko potrafisz rozwiązać zadanie i dlaczego doszedłeś do takiego a nie innego wniosku/wyniku.

jutrvy pisze:bakala - przecież \(\displaystyle{ \sin(15^{\circ}) = \sin(45^{\circ}-30^{\circ})}\), więc wystarczyły Ci Twoje wzory

No dobrze, ale ja napotkałem problem z drugiej strony, to znaczy w postaci równania:
\(\displaystyle{ \sin x=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}\)
I tutaj ten wzór jest bezużyteczny, natomiast wiedza ile wynosi \(\displaystyle{ \sin 15^{\circ}}\) pozwala natychmiast dać odpowiedź a nie zastanawiać się pół godziny

Vax, czy byłbyś tak miły i poinformował nierównościowego laika jak doszedłeś do wniosku, że zachodzi podana przez Ciebie nierówność?

Żeby sprawdzić, że zachodzi wystarczy wymnożyć wszystko i zauważyć, że zawija się ona do:

\(\displaystyle{ (x-y)^2(2x+y) \ge 0}\)

Domyślam się jednak, że chodzi o wyprowadzenie jej, wtedy polecam:

... i_styczne/

Można też tak pokazać tę nierówność: