Matematyka.pl

Cóż, tak jak pisałem u góry, zrobiłem sobie mały kursik analizy (który niestety brutalnie przerwałem teraz ) i w miarę potrafię granice obliczać, więc chciałem się zmierzyć z tymi zadaniami, które podałeś, jako te "trudne". No i faktycznie były. "Wygibasy" z liczbami? Heh, zawsze mnie algebra cieszyła, no ale nie przesadzajmy, klasyczne wzory na sumy czy różnice potęg, nic ponadto. Również pod to się kwalifikuje przykład "g" (dziwny zbieg okoliczności z ksywką pewnego rozkminiacza tego forum ).
Jestem w klasie matematycznej oczywiście, w innej bym nie ścierpiał . Ty zapewne też przecież?
Cieszę się, że Ci się udało poduczyć z moich wypocin, bo niejednemu bym się otłumaczył jak głupiemu i jeszcze by nie pojął.
A zadania stwierdziłem, że zrobię jeszcze z tej przyczyny, że siedzę w domu "na przeziębieniu", to i mam co robić . Postaram się resztą też zająć.

obecny.
tak:

Rogal pisze:\(\displaystyle{ \frac{4x}{2x+x \sqrt[3]{1-\frac{2}{x^{2}}}} = \frac{4x}{x(2 + \sqrt[3]{1})}}\)

sie nie pisze. jak nie piszesz limesow to przeksztalcenia musza byc tozsame. powyzsze nie jest. a jesli przyjmiemy ze nie piszesz, bo cie sie nie chce (co zrozumiale), to dalej tez jest zle, bo przy liczeniu granic nie mozesz sobie wyrzucac tych iksow co ci nie pasuja. jak juz opuszczasz limes na samym koncu to liczysz granice biorac pod uwage wszystkie argumenty, a nie te, co ci sie podobaja. tego \(\displaystyle{ 2/x^2}\) sobie nie mozesz ot tak pominac bo pozniej wyjdzie zero. chuj wi co wyjdzie jak tak sobie zrobisz. prosty przyklad - \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \left( 1 + {1 \over x} \right)^x}\).

oczywiscie jakby sie uczepic, to dostawiwszy tam limesy zapis jest poprawny (no bo granica po lewej jest przypadkiem rowna granicy po prawej), ale to jest bardziej "rowna sie" tozsamosciowe niz "rowna sie" przeksztalceniowe. dlatego sie zwyczajowo przyjmuje ze sie w taki sposob nie pisze.

Wiedziałem, że czytasz ten topic ;P.
Oczywiście masz rację tutaj, byłem ciekaw czy się ktoś dorzepi do tego. Doczekałem się. A na swoje usprawiedliwienie podam tylko tyle, że nie robię tych przykładów na żywca na forum, lecz na kartce. I gdy widzę, ile musiałbym klepać dodatkowo, to się mi po prostu nie chce (podobnie jak z tymi limesami). To "przypadkiem" równe jest dlatego, że to już zrobiłem raz i wiem, że jest to sobie równe, więc tak brzydko skracam zapis.
A właśnie, czy mógłbyś mi podać inny przykład, w którym taki zapis prowadziłby do błędnego wyniku? Bo liczba e jest już oklepana jak ładna dziewczyna na wiejskim weselu, a nie mogę sobie wyobrazić innej takiej granicy.

mnie nie mozna nie nie doceniac :J ja jestem wszedzie i nigdzie :J
\(\displaystyle{ \lim_{n \to } {1 \over n} + {1 \over n+1} + {1 \over n+2} + ... + {1 \over 2n-1} + {1 \over 2n}}\)
jkabys liczyl wyraz po wyrazie to by ci wyszlo 0, a tak to jest ln 2.

Khem, g, to jest szereg, chodziło mi o ciąg jakiś . Szeregi już przerabiałem i nie daje się na takie sztuczki nabierać ;P. Aktualnie moją ambicją jest poznać sposoby obliczania sum podobnych do tego szeregów, ale wiem, że daleka droga przede mną (całki niewłaściwe i te sprawy ).

"Jestem wszędzie i nigdzie" - coś mi to przypomina, jak sobie przypomnę, to napiszę

a) to ze to ma nieskonczenie wiele skladnikow to to wcale nie znaczy ze to szereg jest
b) jak mi podasz definicje ciagu i szeregu rozrozniajace te dwa pojecia, to cie ozloce. bo ja twierdze ze kazdy szereg jest ciagiem i kazdy ciag jest szeregiem. badzmy scisli.

Wiesz, ja się uczyłem, że gdy obliczamy graniczną wartość sumy nieskończonej ilości składników, to mamy do czynienia z szeregiem. Ale dalej masz racje chyba. Różnica jest jedna drobna, między ciągiem i szeregiem. Mianowicie zupełnie inną metodą się oblicza ich granice. Ale to nie jest do końca ścisłe. Ot, po prostu można by rzec, że szereg jest wyższą formą ciągu, mówiąc inaczej, ciag jest jakby prymitywniejszy. Takie moje zdanie na ten temat .

Przyznam szczerze, że przykład k) mnie powstrzymał dość skutecznie. To znaczy, jeśli pochodna z |sinx| jest równa w jakiś sposób cosx (lub też |cosx|, nie wiem, nigdy nie różniczkowałem wartości bezwzględnej), to wtedy granica wychodzi od razu wręcz z de L'Hospitala. Proszę mądrzejszego o wypowiedzenie się, a zainteresowanego, czy de L'Hospital go satysfakcjonuje


Ha, rozwaliłem to k). Podpowiedział mi pan Kuratowski, podając wzór:
\(\displaystyle{ 1-\cos x = 2\sin^{2}\frac{1}{2}x}\)
Wystarczy to zastosować do mianownika i upragniona granica pięknie wychodzi równa \(\displaystyle{ \infty}\)

PS. Oczywiście licznik zamieniamy na |sinx| z najbardziej podstawowego wzoru funkcji trygonometrycznych

Witaj!

Przepraszam, że przez te dwa dni się nie odzywałem, ale musiałem odpocząć trochę od matematyki. Odpowiedź wg. zbioru zadań do przykładu k.) to \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), a nie \(\displaystyle{ \infty}\) i właśnie taka granica mi wyszła, a poniżej zamieszczam dla Ciebie sposób rozwiązania:

\(\displaystyle{ \large\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1-cosx^{2}}}{1-cos x}=\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1-cosx^{2}}}{1-cos x}\cdot \frac{\sqrt{1+cosx^{2}}}{\sqrt{1+cos x^{2}}}\cdot\frac{1+cos x}{1+cos x}\cdot\frac{x^{2}}{x^{2}}=\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1-cos^{2}x^{2}}}{x^{2}}\cdot\frac{x^{2}}{1-cos^{2}x}\cdot\frac{1+cos x}{\sqrt{1+cos x^2}}=\\=\lim_{x\to0}\frac{sin x^{2}}{x^2}\cdot\frac{x\cdot x}{sin x\cdot sin x}\cdot\frac{1+cos x}{\sqrt{1+cos x^{2}}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}}\)

Teraz może ja trochę to wytłumaczę . Pomnożyłem licznik i minownik tak, aby uzyskać różnicę kwadratów w liczniku i mianowniku. Potem skorzystałem ze wzoru na jedynkę trygonometrycznę, a następnie z twierdzenia, które podałem na końcu pierwszego postu. Na mocy tego twierdzenia wyrażenie: \(\displaystyle{ \lim_{x\to0}\frac{sin^{2}x^{2}}{x^2}\cdot\frac{x\cdot x}{sin x\cdot sin x}}\) jest równe razem i każde z osobna 1.
Dalej jest chyba jasne

Mimo wszystko dziękuję za pomoc po raz kolejny. Zaraz biorę się za resztę zadań i dam znać, jak zrobię . Hej.

OK. Zrobiłem wszystkie przykłady poza ostatnim (o) i szczerze mówiąc tu liczę na Twoją pomoc .Hey

P.S Jak tam zdrowie? Mam nadzieję, że lepiej, bo mówiłeś, że jesteś przeziębiony...

Zdrówko jest w porządku, nie narzekam .
A ten przykład bardzo fajnie robisz, jednak widzisz, ja korzystam z tego programu do rysowania wykresów poleconego mi przez Ciebie i tam granica w punkcie zero z obu stron jest równa nieskończoności. No i jakby mi ktoś wskazał błąd w moim rozumowaniu, to byłoby fajnie. No i biorę się za to o) .

[ Dodano: Sob Wrz 17, 2005 3:33 pm ]
O lol, widzę już mój błąd. Napisałem sobie \(\displaystyle{ 1-\cos^{2} x}\) zamiast kwadratu przy iksie. Sorka za zamieszanie.

Musiałeś źle wpisać do programu formułe (wzór) funkcji. Wpisz tak: (sqrt(1-cos(x^2)))/(1-cos(x)) i zobaczysz, że granica w punkcie 0 wynosi \(\displaystyle{ \large\sqrt{2}}\) .

Skoro Ty bierzesz się za o, to ja biorę się za nową partię zadań z granic...

Sorewicz, Viper, ale to jest nieskończoność. Masz błąd jak przechodzisz do sin^2(x^2) (zapomniałeś o pierwiastku). Moim zdaniem najprościej (tak jak było to wcześniej sugerowane) z de L'Hospitala i uniknąć problemu z różniczkowaniem funkcji z wartością bezwzględną przez obliczenie dwu granic jednostronnych (obie są jednakowe i wynoszą nieskończoność).

Masz rację co do tego, że zapomniałem wyciągnąć pierwiastek - już poprawiłem. Jednak dopiero po tej poprawce mój wynik jest dobry, gdyby tam był kwadrat, nie mógłbym zastosować odpowiedniego twierdzenia. Granica wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), a nie nieskończoność. Taka odpowiedź jest w zbiorze zadań. Mathematica i Advanced Grapher to potwierdzają:

ok, racja.

co do o) to ja robie cos takiego :

\(\displaystyle{ \lim_{x\to0}{\frac{cosmx-cosnx}{tg^{2}x}}=\lim_{x\to0}{\frac{-2sin(\frac{mx+nx}{2})sin(\frac{mx-nx}{2})cos^{2}x}{sin^{2}x}}}\)

tutaj widac ze jesli \(\displaystyle{ \frac{mx+nx}{2}=x}\) i \(\displaystyle{ \frac{mx-nx}{2}=x}\) to nastapi skrocenie z mianownikiem. I nastapi to wtedy gdy m=2 i n=0, wtedy granica bedzie rowna -2.