Kilka zadań z granic

[Viper]

Nie mogę sobie poradzić z takimi przykładami obliczenia granic. Gdyby ktoś potrafił rozwiązać choć jeden przykład, bardzo proszę o pomoc:

a.) \(\displaystyle{ \large\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}{\sqrt{x+1}}}\)

b.) \(\displaystyle{ \large\lim_{x\to\infty}\frac{(1+x)(1+2x)...(1+10x)}{x^{10}+1}}\)

c.) \(\displaystyle{ \large\lim_{x\to\infty}\frac{(2x-1)^{15}(3x-1)^{31}}{(x^{2}+13x+4)^{23}}}\)

d.) \(\displaystyle{ \large\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x}}{\sqrt{2x}+1}}\)

e.) \(\displaystyle{ \large\lim_{x\to\infty}(\sqrt{x^{2}+2}-\sqrt{x^{2}+1})}\)

f.) \(\displaystyle{ \large\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x+\sqrt{x+2}}}{1+\sqrt{x}})}\)

g.) \(\displaystyle{ \large\lim_{x\to\infty}(x^{\frac{1}{3}}((x+1)^{\frac{2}{3}}-(x-1)^{\frac{2}{3}})}\)

h.) \(\displaystyle{ \large\lim_{x\to\infty}(\sqrt{x^{2}+\sqrt{x^{2}+\sqrt{x^{2}}}}-\sqrt{x^{2}})}\)

i.) \(\displaystyle{ \large\lim_{x\to0}(sin x+2cos x)}\)

j.) \(\displaystyle{ \large\lim_{x\to0}\frac{sin^{2}2 x}{sin^{2}3 x}}\)

k.) \(\displaystyle{ \large\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1-cos x^{2}}}{1-cos x}}\)

l.) \(\displaystyle{ \large\lim_{x\to0}\frac{sin x}{sin 6x-sin 7x}}\)

m.) \(\displaystyle{ \large\lim_{x\to0}\frac{1-cos 4x}{sin 3x}}\)

n.) \(\displaystyle{ \large\lim_{x\to\pi}\frac{sin\pi x^{2} }{sin \pi x^{3}}}\)

o.) \(\displaystyle{ \large\lim_{x\to0}\frac{cos mx-cos nx}{tg^{2} x}}\)

P.S Wiem, że w niektórych przykładach z funkcjami trygonometrycznymi może być przydatne poniższe twierdzenie:

\(\displaystyle{ Tw. \large\lim_{x\to0}\frac{sin x}{x}=1}\)

Z góry dziękuję.


Edit by Tomek R.: Pisz regulaminowe tematy. Ten poprawiłem.

[Tomasz Rużycki]

W czym dokładnie jest problem? Chyba nie oczekujesz, że Cię całkowicie wyręczymy? Napisz, gdzie się 'zacinasz', a na pewno otrzymasz pomoc.


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

[Viper]

No nie. Nic podobnego. Ja miałem do zrobienia ok 70 takich przykładów. Resztę zrobiłem sam. Z tymi problem jest taki, że nie mogę zacząć . Nie mam żadnego pomysłu. Mogę się tylko postarać dokładniej opisać:

a.) Nie mogę sobie poradzić z pozbyciem się tych zagnieżdżonych pierwiastków. Wskazówka?

b.) To co w liczniku to chyba ciąg geometryczny, ale nie wiem jakie twierdzenie dot. ciągów tu zastsoswać. Gdyby tam była suma, a nie iloczyn, to policzyłbym sumę częściową.

c.) Nie mogę sobie poradzić z pozbyciem się tak wysokich wykładników. Nie przychodzi mi na myśl żadne rozsądne wyrażenie, przez które mógłbym mnożyć ułamek.

d.) Znowu te pierwiastki...

e.) Zupełny brak pomysłu. Próbowałem stosować wzór na kwadrat sumy, ale wtedy pieriwastki pojawiają się w mianowniku.

f.) Zagnieżdżone pierwiastki...

g.) Brak pomysłu na rozsądne wyrażenie, przez które możnaby pomnożyć.

h.) Kolejne zagnieżdżone pierwiastki.

i.) Wzór na sumę cosinusów nic nie dał.

j.) Próbowałem to zrobić z wzorów dla podwojonych kątów, ale nie skraca mi się.

k.) Pierwiastka się pozbędę, ale co dalej?

l.) W mianowniku próbowałem wzoru na różnicę sinusów, ale potem nie mogę wyciągnąć przed nawias żadnej rozsądnej liczby.

m.) j.w . Jedynkę przedstawiłem jako cos 0.

n.) Wszystko byłoby dobrze, gdyby nie te potęgi.

o.) Wzór na różnicę cosinusów, ale co zrobić ze współczynnikami n i x?

Uwierzcie, że naprawdę sam się nagłowiłem nad dużo większą ilością tego typu przykładów przez cału weekend, ale z tymi nie mogę sobie poradzić. Przygotowuję się do matury, więc każda podpowiedź będzie dla mnei bardzo cenna. Wiem, że tak to wygląda jak bym chciał naciągnąć kogoś na zrobienie pracy za mnie, ale uwierzcie mi proszę, że tak nie jest.

[Rogal]

Dobra, czas spróbować się z tymi granicami, w końcu niedawno zrobiłem sobie kurs ich obliczania .
Z wrodzonego lenistwa nie będę pisał limesa, ani też do czego x dąży.

\(\displaystyle{ a) \frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}{\sqrt{x+1}} = \sqrt{\frac{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}{x+1}} = \sqrt{\frac{x+\sqrt{x+x^{2}\sqrt{\frac{1}{x^{3}}}}}{x+1}} = \sqrt{\frac{x+x\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^{3}}}}}{x+1}} = \\ = \sqrt{\frac{x(1+\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^{3}}})}}{x(1+\frac{1}{x})}} = \sqrt{\frac{1+\sqrt{0+\sqrt{0}}}{1+0}} = \sqrt{1} = 1}\)

b) Jak ktoś chce, to może przemnożyć te nawiasy przez siebie, życzę powodzenia. Jednak można zauważyć, że po ich wymnożeniu dostaniemy x-y we wszystkich potęgach od 0 do 10. Dzieląc więc przez x^10 z mianownika wyzerują się wszystkie poza właśnie x^10 w liczniku. Musimy więc tylko znaleźć współczynnik przy x^10. Łatwo widać, że będzie to 10!, i tyleż właśnie wynosi ta granica.

\(\displaystyle{ c) \frac{(2x-1)^{15} (3x-1)^{31}}{(x^{2}+13x+4)^{23}} = \frac{(2x-1)^{15} (3x-1)^{8} (3x-1)^{23}}{(x^{2}+13x+4)^{15} (x^{2}+13x+4)^{8}} = (\frac{2x-1}{x^{2}+13x+4})^{15} (\frac{3x-1}{x^{2}+13x+4})^{8} (3x-1)^{23} = (\frac{2-\frac{1}{x}}{x +13+\frac{4}{x}})^{15} (\frac{3-\frac{1}{x}}{x+13+\frac{4}{x}})^{8} (3x-1)^{23} = \\ = \frac{2^{15}}{(x+13)^{15}} \frac{3^{8}}{(x+13)^{8}} (3x-1)^{23} = 2^{15} 3^{8} (\frac{3x-1}{x+13})^{23} = 2^{15} 3^{8} (\frac{3-\frac{1}{x}}{1+\frac{13}{x}})^{23} = 2^{15} 3^{8} 3^{23} = 2^{15} 3^{31}}\)

Można to było oczywiście rozpisywać ciut inaczej, ale jakoś tak po kolei się mi bardziej podobało .

[Viper]

Bardzo dziękuję. Zaraz zabiorę się za analizę i przepisanie tego do zeszytu. Czy sprawiłoby Ci duży kłopot wykonanie reszty zadań? Ja cały czas próbuję, ale nic mi z tego za bardzo nie wychodzi, choć drogi analizy mamy podobne

P.S Twoje wzory są obrazkiem. Czyżbyś nie pisał ich w TEXie? A jeśli nie, to w czym? Może w MathType?

[Rogal]

Oczywiście, że TeXem pisałem, prawie sobie przypomniałem, jak się nim pisze . Oczywiście myślę o reszcie, ale zaciąłem się na kolejnym przykładzie

[ Dodano: Wto Wrz 13, 2005 4:58 pm ]
Dobra, czwarte pozostawiam na lepsze czasy i mądrzejszych ludzi .

\(\displaystyle{ e) \sqrt{x^{2}+2}-\sqrt{x^{2}+1} = \frac{x^{2}+2-x^{2}-1}{\sqrt{x^{2}+2}+\sqrt{x^{2}+1}} = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+2}+\sqrt{x^{2}+1}} = 0}\)
Jak coś, to korzystałem z przekształconego wzoru na różnicę kwadratów. Podejrzewam, że w czwartym przykładzie też trzeba wykorzystać wzór na sumę którychś tam potęg, ale jakoś mi to niesporo szło .

[Viper]

CO TEXa tak pytałem, bo Twoich wzorów nie da się zaznaczyć myszką, napisane przeze mnie się da .

Co do przykładu "e" ---> ma wyjść 0, anie \(\displaystyle{ \infty}\)

Właśnie próbuję zrobić d.

P.S Co do TEXa. Czy jest jakiś program przerabiający wzory napisane wizualizacyjnie na TEXa? Jeśli nie ma, jestem chętny takowy napisać. Potrzebowałbym tylko wiedzieć do kogo z forum się z tym zwrócić i czy taki program będzie przydatny tylko dla Was, czy też taka forma TEXa jest używana gdzie indziej?

[Rogal]

Oczywiście, że 0, zasugerowałem się jakoś dziwacznie mianownikiem.
Moje wzroy przecież da się zaznaczyć, właśnie to zrobiłem i skopiowałem sobie do schowka jeden . A jeśli chodzi o program, to zgłoś się do moderatorki olazola najlepiej.

[Viper]

Oczywiście, że 0, zasugerowałem się jakoś dziwacznie mianownikiem.

Przepraszam, ale nie bardzo rozumie, jak z tego zapisu wynika 0!? Przecież w mianowniku masz sumę pierwiastków z niskończoności, a to jest chyba nieskończoność. Więc wychodzi nieskończonośc pod 1, ale to na pewno nie jest 0...

Moje wzroy przecież da się zaznaczyć, właśnie to zrobiłem i skopiowałem sobie do schowka jeden

Przedziwna rzecz, ale ja Twoich worów skopiować nie mogę, a swoje jak najbardziej. Uwierz mi. Twoje mogę zapisać tylko jako obrazek.

A jeśli chodzi o program, to zgłoś się do moderatorki olazola najlepiej.

OK. Dzięki. A Tobie np. taki program byłby przydatny?

[Rogal]

\(\displaystyle{ f) \frac{\sqrt{x+\sqrt{x+2}}}{1+\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x+x\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}}}}{\sqrt{x}+1} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{1+0}}{\sqrt{x}(1+0)} = \frac{1}{1} = 1}\)

[ Dodano: Wto Wrz 13, 2005 5:45 pm ]
Jeśli chodzi o to e), to przecież jeden z podstawowych wzorów granic wygląda tak:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \frac{1}{x} = 0}\)

A jeśli chodzi o TeXa, to raczej nie byłby mi potrzebny, już się go w miarę nauczyłem i piszę nim dość swobodnie.

[Aram]

Rogal: a czemu d) jest trudny ? przeciez wystarczy na moje oko podzielic licznik i mianownik przez najwyzsza potege mianownika czyli przez \(\displaystyle{ x^{1/2}}\)
i pozniej wychodzi :
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{1+1/x^{1/6}+1/x^{1/4}}{\sqrt{2}+1/x^{1/2}}=\sqrt{2}/2}\)
dobrze ?

[Rogal]

Ech, pewnie, że dobrze. Również taki wynik otrzymałem, choć na ciut innej drodze. Zasugerowałem się jednak wykresem tej funkcji. Okazuje się, że ona bardzo powoli sobie dąży do tego sqrt(2)/2, a nie rozszerzyłem sobie skali i myślałem, że granica będzie ponad 1. Czyli d) zrobione .

[Viper]

Bardzo, bardzo dziękuję. Czy ktoś mógłby się zająć resztą zadań? Chociaż udzielić jakiś wskazówek...

[Rogal]

Się robi, po kolei .

\(\displaystyle{ g) x^{\frac{1}{3}}((x+1)^{\frac{2}{3}}-(x-1)^{\frac{2}{3}}) = \frac{x^{\frac{1}{3}}((x+1)^{\frac{2}{3}}-(x-1)^{\frac{2}{3}})((x+1)^{\frac{4}{3}} + ((x+1)(x-1))^{\frac{2}{3}}+(x-1)^{\frac{4}{3}})}{(x+1)^{\frac{4}{3}} + ((x+1)(x-1))^{\frac{2}{3}})+(x-1)^{\frac{4}{3}}} = \frac{x^{\frac{1}{3}}((x+1)^{2}-(x-1)^{2})}{(x+1) \sqrt[3]{x+1}+ \sqrt[3]{(x^{2}-1)^{2}}+(x-1) \sqrt[3]{x-1}} = \\ = \frac{\sqrt[3]{x}(x^{2}+2x+1-x^{2}+2x-1)}{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{1+\frac{1}{x}} (x+1) + \sqrt[3]{x^{4}-2x^{2}+1}+\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{1-\frac{1}{x}} (x-1)} = \frac{\sqrt[3]{x} 4x}{\sqrt[3]{x} (x+1) + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x^{3}-2x+\frac{1}{x}} + \sqrt[3]{x} (x-1)} = \frac{\sqrt[3]{x} 4x}{\sqrt[3]{x}(x+1 + \sqrt[3]{x^{3}-2x} + x-1)} = \\ = \frac{4x}{2x+x \sqrt[3]{1-\frac{2}{x^{2}}}} = \frac{4x}{x(2 + \sqrt[3]{1})} = \frac{4}{3}}\)

Trochu to może wytłumaczę. Wpierw przemnożyłem całość, by w liczniku dostać wzór na różnicę sześcianów, który dał nam różnicę kwadratów w istocie . Skojarzyłem go od razu, bo dawno temu się cieszyłem, że znalazłem postać iloczynową sumy kwadratów w liczbach rzeczywistych, która właśnie tak wygląda, gdy się plus z minusem zamieni .
Potem standardowe przekształcenia, przejście na znak pierwiastka (bo ładniej wygląda i wygodniej się pisze) i "skracanie nieskończoności". Kocham to


\(\displaystyle{ h) \sqrt{x^{2}+sqrt{x^{2}+\sqrt{x^{2}}}} - \sqrt{x^{2}} = \frac{x^{2}+\sqrt{x^{2}+\sqrt{x^{2}}}-x^{2}}{\sqrt{x^{2} + sqrt{x^{2}+\sqrt{x^{2}}}} + \sqrt{x^{2}}} = \frac{\sqrt{x^{2}+\sqrt{x^{2}}}}{\sqrt{x^{2}+\sqrt{x^{2}+x}}+x} = \frac{\sqrt{x^{2}+x}}{\sqrt{x^{2}+x \sqrt{1+\frac{1}{x}}}+x} = \frac{x \sqrt{1+\frac{1}{x}}}{x \sqrt{1+\frac{1}{x}}+x} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}}\)


i) Funkcja jest ciągła w całej dziedzinie, wstawiamy za x zero i dostajemy granicę równą wartości f(0), czyli 2.


j) Wzór na podwojony i potrojony sinus daje radę .
\(\displaystyle{ \frac{\sin^{2} 2x}{\sin^{2} 3x} = (\frac{2\sin \cos }{\sin (3-4 \sin^{2} )})^{2} = (\frac{2\cos }{3-4\sin^{2} })^{2} = (\frac{2}{3})^{2} = \frac{4}{9}}\)

[Viper]

OK. Przeanalizowałem i przepisałem do zeszytu wszystko co rozwiązałeś. Trochę mi to zajęło . Przyznam, że jesteś bardzo sprytny w tych obliczeniach. W wielu przypadkach, byłem bardzo zdziwiony, że można wyprawiać takie "wygibasy" z liczbami ---> szczególnie to wyciąganie spod zagnieżdżonego pierwiastka i przykład "g" (g, to już zupełny popis). Moje gratulacje.
Jesteś może w klasie matematycznej?

Ja ze swojej strony mogę zapewnić, że nie przepisałem tego wszystkiego bezrozumnie --> analizując Twoje rozwiązania dużo się nauczyłem...

Wracając do zadania. Jesteś wstanie zrobić resztę przykładów, czy masz już dość? Jeśli nie - powiedz. Zrozumiem. Pewnie i tak zająłem Ci mnóstwo Twojego prywatnego czasu.