Mówimy wtedy, że taki zbiór jest niemierzalny, a, w przeciwnym razie, jeśli podzbiór zbioru \(\displaystyle{ \RR}\) ma miarę, to mówimy, że jest mierzalny.
Taka miara, na mierzalnych podzbiorach zbioru liczb rzeczywistych, jest to funkcja \(\displaystyle{ f}\) o wartościach rzeczywistych nieujemnych, mająca trzy własności:
\(\displaystyle{ 1 ^{\circ}: f\left( \left[ 0,1\right] \right)=1;}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{\circ}:}\) Jeśli mierzalny zbiór \(\displaystyle{ A \subset \RR}\), ma miarę \(\displaystyle{ f\left( A\right)}\), a \(\displaystyle{ r \in \RR}\), to zbiór \(\displaystyle{ \left\{ x+r: \ x \in A\right\} }\)(jest to zbiór powstały po przesunięciu zbioru \(\displaystyle{ A}\) na osi liczb rzeczywistych o wektor \(\displaystyle{ r}\) ), też ma miarę \(\displaystyle{ f(A).}\)
\(\displaystyle{ 3 ^{\circ}:}\) Jeśli \(\displaystyle{ \left( A_0, A_1, A_2,\ldots\right)}\) jest ciągiem mierzalnych podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych, ciągiem zbiorów rozłącznych, tzn. dla \(\displaystyle{ n \neq m}\) zbiory \(\displaystyle{ A_n}\) i \(\displaystyle{ A_m}\) są rozłączne, to miara sumy tego ciągu zbiorów jest równa sumie miar (sumie szeregu, ta powtarzająca się suma-jest to fałszywy związek ), tzn. :
\(\displaystyle{ f\left( \bigcup_{n \in \NN} A_n\right) = \sum_{n \in \NN} f\left( A_n\right)}\).
Wykażemy, że istnieje podzbiór odcinka domkniętego \(\displaystyle{ \left[ 1,2\right]}\) nie mający miary Lebesgue'a, czyli będzie to zbiór niemierzalny.
DOWÓD TEGO FAKTU:
Niech:
\(\displaystyle{ X= \left[ 1,2\right].}\)
Rozważmy relację \(\displaystyle{ \sim}\) na zbiorze \(\displaystyle{ X}\), daną jako:
\(\displaystyle{ x\sim y \Longleftrightarrow \left( x-y\right) \in \QQ}\).
(Sam, w życiu nie wpadłbym na taki pomysł; bądźmy uczciwi: działania tej relacji równoważności nie da się wyobrazić sobie- bo klas równoważności jest nieprzeliczalnie wiele- w przeciwnym razie, odcinek \(\displaystyle{ \left[ 1,2\right]}\), jako suma co najwyżej przeliczalnie wielu zbiorów przeliczalnych, byłby zbiorem przeliczalnym- sprzeczność; wobec czego klas równoważności jest nieprzeliczalnie wiele; i, dowolni dwaj reprezentanci różnych klas równoważności muszą być odlegli od siebie o liczbę niewymierną, i klas równoważności jest nieprzeliczalnie wiele- kosmos).
Łatwo jest jednak pokazać, że istotnie jest to relacja równoważności:
Jest to relacja zwrotna, gdyż dla dowolnego \(\displaystyle{ x \in \left[ 1,2\right]}\), mamy \(\displaystyle{ x-x=0 \in \QQ}\).
Jest to relacja symetryczna, gdyż jeśli \(\displaystyle{ \left( x-y\right) \in \QQ}\), to \(\displaystyle{ \left( y-x\right) = -\left( x-y\right) \in \QQ.}\)
Jest przechodnia, gdyż jeśli \(\displaystyle{ \left( x-y\right) \in \QQ}\), \(\displaystyle{ \left( y-z\right) \in \QQ}\), to \(\displaystyle{ x-z= \left( x-y\right) +\left( y-z\right) \in \QQ.}\)
Wobec czego jest to relacja równoważności na zbiorze \(\displaystyle{ X}\), a zatem zbiór wszystkich klas równoważności
\(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest rozkładem odcinka domkniętego \(\displaystyle{ \left[ 1,2\right]}\). Wtedy ten rozkład \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest rodziną zbiorów rozłącznych i niepustych. Możemy zatem zastosować do niego aksjomat wyboru. Czyniąc to, otrzymujemy tajemniczy zbiór \(\displaystyle{ S}\), taki, że przekrój \(\displaystyle{ S \cap A}\) jest zbiorem jednoelementowym, dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A \in \mathbb{B}}\).
Wtedy:
\(\displaystyle{ S':= S \cap \left[ 1,2\right] \subset \left[ 1,2\right]}\).
Ponieważ rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest rozkładem zbioru \(\displaystyle{ \left[ 1,2\right]}\), więc \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B} = \left[ 1,2\right]}\).
Niech \(\displaystyle{ A \in \mathbb{B}}\).
Wtedy:
\(\displaystyle{ S' \cap A= S \cap \left[ 1,2\right] \cap \underbrace{A}_{ \subset \left[ 1,2\right] }= S \cap \left( A \cap \left[ 1,2\right] \right) \stackrel{\left[ 1,2\right]\supset A }{=} S \cap A\sim 1.}\)
A zatem również zbiór \(\displaystyle{ S'}\) ma po dokładnie jednym elemencie wspólnym z każdym zbiorem \(\displaystyle{ A \in \mathbb{B}}\), a ponadto \(\displaystyle{ S' \subset \left[ 1,2\right] \subset \RR}\).
Przypuśćmy nie wprost, że zbiór \(\displaystyle{ S'}\) ma miarę \(\displaystyle{ f\left( S'\right).}\)
Rozważmy zbiór liczb wymiernych z odcinka domkniętego \(\displaystyle{ \left[ -1,1\right]}\), tzn. rozważmy zbiór: \(\displaystyle{ \QQ \cap \left[ -1,1\right] \sim \NN.}\)
Istnieje więc bijekcja:
\(\displaystyle{ g:\NN \rightarrow \QQ \cap \left[ -1,1\right]}\).
Ustalmy ją, i dla dowolnego \(\displaystyle{ n \in \NN}\), rozważmy zbiór:
\(\displaystyle{ S_n= \left\{ s+ g(n)\Bigl| \ \ s \in S'\right\} .}\)
Czyli przesuwamy zbiór \(\displaystyle{ S'}\) o liczbę wymierną nie większą od \(\displaystyle{ 1}\) (w lewo albo w prawo).
Wykażemy, że:
\(\displaystyle{ \left[ 1,2\right] \subset \bigcup_{n \in \NN} S_n}\).
Niech \(\displaystyle{ x \in \left[ 1,2\right] =X= \bigcup\mathbb{B}}\).
Wtedy \(\displaystyle{ x \in \bigcup\mathbb{B}}\), a więc \(\displaystyle{ x \in B}\), gdzie \(\displaystyle{ B \in \mathbb{B}}\). Wtedy, z własności zbioru \(\displaystyle{ S',}\) otrzymujemy, że przekrój \(\displaystyle{ S' \cap B}\) jest zbiorem jednoelementowym, tzn. \(\displaystyle{ S' \cap B= \left\{ b\right\}}\), dla pewnego elementu \(\displaystyle{ b}\). Wtedy \(\displaystyle{ b \in S' \cap B}\), a \(\displaystyle{ B \in \mathbb{B}}\) jest klasą równoważności, a \(\displaystyle{ b \in B}\) i \(\displaystyle{ x \in B}\), a zatem, z własności relacji równoważności: \(\displaystyle{ b\sim x}\), a zatem \(\displaystyle{ x\sim b}\), a zatem, z definicji tej relacji otrzymujemy, że \(\displaystyle{ \left( x-b\right) \in \QQ}\). Ponieważ \(\displaystyle{ x \in \left[ 1,2\right], b \in S' \subset \left[ 1,2\right]}\), więc \(\displaystyle{ b \in \left[ 1,2\right]}\), a zatem \(\displaystyle{ \left( x-b\right) \in \left[ -1,1\right]}\), a zatem \(\displaystyle{ \left( x-b\right) \in \QQ \cap \left[ -1,1\right]}\). Ponieważ \(\displaystyle{ g:\NN \rightarrow \QQ \cap \left[ -1,1\right]}\), a funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest bijekcją (więc w szczególności jest funkcją 'na'), a zatem, otrzymujemy, że istnieje \(\displaystyle{ n \in \NN}\), takie, że: \(\displaystyle{ g\left( n\right) = x-b}\). Ponieważ \(\displaystyle{ b \in S'}\), więc, z definicji zbiorów \(\displaystyle{ S_n}\), otrzymujemy, że: \(\displaystyle{ \left( b+g\left( n\right) \right) \in S_n}\), a zatem \(\displaystyle{ b+\left( x-b\right)= x \in S_n}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in \NN}\), a zatem \(\displaystyle{ x \in \bigcup_{n \in \NN} S_n}\), i \(\displaystyle{ \left[ 1,2\right] \subset \bigcup_{n \in \NN} S_n}\).
Ale \(\displaystyle{ \bigcup_{n \in \NN} S_n \subset \left[ 0,3\right] }\), i, z definicji zbiorów \(\displaystyle{ S_n,}\) otrzymujemy równość: \(\displaystyle{ f\left( S' \right)= f\left( S_n\right)}\) , dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN;}\) a ciąg zbiorów \(\displaystyle{ \left( S_n\right) _{n \in \NN}}\) jest ciągiem zbiorów rozłącznych, a zatem, z własności miary:
\(\displaystyle{ f\left( \bigcup_{n \in \NN} S_n\right) = \sum_{n \in \NN} f\left( S_n\right)= \sum_{n \in \NN} f\left( S'\right)}\),
skąd otrzymujemy, że \(\displaystyle{ f\left( S'\right) =0}\), bo gdyby:
Gdyby byłoby \(\displaystyle{ f\left( S' \right)>0}\), oznaczmy tą stałą wartość jako \(\displaystyle{ a}\), to wtedy:
\(\displaystyle{ \sum_{n \in \NN} f\left( S'\right) = a+a+a+\ldots= \left( + \infty \right)\not \in \RR_+ \cup \left\{ 0\right\};}\)
-sprzeczność.
Wobec czego \(\displaystyle{ f\left( S'\right)=0= f\left( S_n\right)}\) ,
a zatem \(\displaystyle{ f\left( S_n\right)= 0}\), dla każdego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego, a zatem:
\(\displaystyle{ f\left( \bigcup_{n \in \NN} S_n\right)= \sum_{n \in \NN} f\left( S_n\right)= \sum_{n \in \NN} 0=0;}\)
ale:
\(\displaystyle{ \left[ 1,2\right] \subset \bigcup_{n} S_n}\), a zatem:
\(\displaystyle{ f\left( \bigcup_{n} S_n \right) \ge f\left( \left[ 1,2\right] \right) = f\left( \left[ 0,1\right] \right)=1;}\)
-sprzeczność.
Wobec czego zbiór \(\displaystyle{ S'}\) nie ma miary.\(\displaystyle{ \square}\)
Dodajmy jeszcze coś prostego:
Jeśli mamy ograniczony przedział \(\displaystyle{ A \subset \RR}\) o długości \(\displaystyle{ a>0}\), to zbiór: \(\displaystyle{ A'= \left\{ x+1: x \in A\right\}}\) też jest przedziałem tej samej długości \(\displaystyle{ a}\) (bo jest to ten przedział przesunięty o jednostkę w prawo).
Na koniec dodam fakt odnośnie przedziałów zbioru liniowo uporządkowanego, którym zaskoczył mnie Dasio 11 (nie jawnie).
Rozważmy zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) oraz przedział \(\displaystyle{ A \subset X}\), oraz zbiór liniowo uporządkowany podobny \(\displaystyle{ Y \approx X}\). Wtedy istnieje podobieństwo \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\); i, wykażemy, że dla każdego ustalonego podobieństwa \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) wtedy obraz \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f} \left( A\right)}\) jest przedziałem w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ Y.}\)
DOWÓD TEGO FAKTU::
Nawet Pani Doktor, przechodząc po sali, zatrzymała się nade mną, przyjrzała się- ale nic nie powiedziała. 
Inni szybciej zaliczyli. Rozwiązałem zadania z kartki, a Pani Profesor daje mi jeszcze jedno zadanie(a). To z szeregiem było dość żmudne (ale zrobiłem je, mówiąc sobie, że w końcu jest to egzamin, czasami trzeba się naliczyć ), i Pani Profesor zauważyła, że napracowałem się, i chyba już mnie męczyła, i zaliczyła mi. Tyko na 
Wychodzę, patrzę na zegarek, minęło dwie i pół godziny, ale zdałem, z 
