Matematyka.pl

Osemka to dwa zewnetrznie styczne okregi. Udowodnic, ze kazdy
zbior rozlacznych osemek na plaszczyznie jest przeliczalny.

Pokazmy moze ze dowolny zbior kół o rozłacznych wnetzrach jest przeliczlny, bo to wystarczy.

Istatotni robimy odwzorowanie roznowartosciowe ze zbioru kół parami rozłącznych w punkty o obu wspólrzednych wymiernych, w ten sposob ze kazdej kuli przypisujemy punkt o wspolrzednych wymiernych bedacy wewnatrz kuli. Widac ze odwzorowanie jest 1-1 w zbior przeliczalny, czyli jest bijekcja na pewien podzbior zbioru punktow o obu wspolrzednych wymiernych. Stad przypuszczenie jest prawda

ale z treści nie wynika, ze "ósemka" to "ósemka z wnętrzem" - ósemka to po prostu dwa styczne okręgi.

Heh, miedzy osemkami z wnetrzem a osemkami bez wnwtrza istnieje dosc naturalna bijekcja (przypisujaca osemce powiedzmy z wnetrzem jej brzeg) wiec to czy sie rozwaza osemki z wnetrzem czy bez nie ma absloutnie zadnego znaczenia....

gdybyś mógł sformalizować to rozumowanie, niewątpliwie przyczyniłbyś się do rozwoju wiedzy na świecie - nie rozumiem argumentu "nie ma absolutnie żadnego znaczenia". zauważ, że we "wnętrzu" jednej ósemki może być nieskończenie wiele innych ósemek.

[ Dodano: 25 Lipca 2008, 08:36 ]
dany jest pewien zbiór A ósemek na płaszczyźnie. promieniem ósemki nazwę niedłuższy z promieni dwóch okręgów, których sumą jest ósemka. niech \(\displaystyle{ A_n\subset A}\) oznacza zbiór tych ósemek ze zbioru A, których promienie spełniają nierówność \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}\leq r < \frac{1}{n}}\). zbiór \(\displaystyle{ A_n}\) jest przeliczalny. dlaczego? zauważmy, że "wewnątrz" ósemki ze zbioru \(\displaystyle{ A_n}\) nie może być innej ósemki z tego zbioru. ponieważ "wnętrza" ósemek są zbiorami otwartymi rozłącznymi, jest ich przeliczalnie wiele (to standard w \(\displaystyle{ R^n}\)). Zauważmy teraz, że \(\displaystyle{ A=\bigcup A_n\cup A_0}\), gdzie \(\displaystyle{ A_0\subset A}\) oznacza zbiór tych ósemek, których promienie są >= 1 - oczywiście \(\displaystyle{ A_0}\) też jest zbiorem przeliczalnym. zatem A również.

[ Dodano: 25 Lipca 2008, 08:52 ]
dany jest pewien zbiór A ósemek na płaszczyźnie. promieniem ósemki nazwę niedłuższy z promieni dwóch okręgów, których sumą jest ósemka. niech \(\displaystyle{ A_n\subset A}\) oznacza zbiór tych ósemek ze zbioru A, których promienie spełniają nierówność \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}\leq r < \frac{1}{n}}\). zbiór \(\displaystyle{ A_n}\) jest przeliczalny. dlaczego? zauważmy, że "wewnątrz" ósemki ze zbioru \(\displaystyle{ A_n}\) nie może być innej ósemki z tego zbioru. ponieważ "wnętrza" ósemek są zbiorami otwartymi rozłącznymi, jest ich przeliczalnie wiele (to standard w \(\displaystyle{ R^n}\)). Zauważmy teraz, że \(\displaystyle{ A=\bigcup A_n\cup A_0}\), gdzie \(\displaystyle{ A_0\subset A}\) oznacza zbiór tych ósemek, których promienie są >= 1 - oczywiście \(\displaystyle{ A_0}\) też jest zbiorem przeliczalnym. zatem A również.

klaustrofob pisze: dany jest pewien zbiór A ósemek na płaszczyźnie. promieniem ósemki nazwę niedłuższy z promieni dwóch okręgów, których sumą jest ósemka. niech \(\displaystyle{ A_n\subset A}\) oznacza zbiór tych ósemek ze zbioru A, których promienie spełniają nierówność \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}\leq r < \frac{1}{n}}\). zbiór \(\displaystyle{ A_n}\) jest przeliczalny. dlaczego? zauważmy, że "wewnątrz" ósemki ze zbioru \(\displaystyle{ A_n}\) nie może być innej ósemki z tego zbioru. ponieważ "wnętrza" ósemek są zbiorami otwartymi rozłącznymi, jest ich przeliczalnie wiele (to standard w \(\displaystyle{ R^n}\)). Zauważmy teraz, że \(\displaystyle{ A=\bigcup A_n\cup A_0}\), gdzie \(\displaystyle{ A_0\subset A}\) oznacza zbiór tych ósemek, których promienie są >= 1 - oczywiście \(\displaystyle{ A_0}\) też jest zbiorem przeliczalnym. zatem A również.

Drobna poprawka - "wewnątrz" ósemki z \(\displaystyle{ A_{n}}\) może być inna ósemka z tego zbioru, ale to i tak nie psuje rozumowania, bo rozłączne pozostają wnętrza kół o nie dłuższych promieniach.

Drobna poprawka - "wewnątrz" ósemki z A_{n} może być inna ósemka z tego zbioru, ale to i tak nie psuje rozumowania, bo rozłączne pozostają wnętrza kół o nie dłuższych promieniach.

grrr... że też zawsze czegoś nie dopatrzę.