Matematyka.pl

Zbadaj własności relacji \(\displaystyle{ \left\{ x,y\in \NN; (x,y)\in r \Leftrightarrow 10|(x^5-y)\right\} }\).
Czy jest to relacja porządku, równoważności, czy identyczności? Jeżeli jest to relacja porządku, podaj jakiego.
Jeżeli jest to relacja równoważności, to podaj ile ma klas abstrakcji.

Proszę o sprawdzenie:
Przypuszczam, że jest to relacja równoważności. Po ciężkich rachunkach sprawdziłem, że ta relacja jest zwrotna i symetryczna. Z przechodniością mam problem, ale wydaje się, że jest przechodnia.

Czy jest jakiś sposób, żeby to krótko rozwiązać?

Dla każdego \(\displaystyle{ x \in \mathbb{N}}\) oczywiście \(\displaystyle{ x^5 \equiv x \pmod{2}}\), a z małego twierdzenia Fermata również \(\displaystyle{ x^5 \equiv x \pmod{5}}\), więc \(\displaystyle{ x^5 \equiv x \pmod{10}}\). Stąd od razu relacja jest zwrotna, a co więcej \(\displaystyle{ x \mathrel{r} y}\) jest równoważne \(\displaystyle{ 10 \mid (x-y)}\) (bo \(\displaystyle{ x \equiv x^5 \pmod {10}}\)) - zatem to zwyczajne przystawanie \(\displaystyle{ \bmod{10}}\), które jest relacją równoważności.

Faktycznie, mądre to jest. Nie skojarzyłem, że można tu skorzystać z małego twierdzenia Fermata.