Matematyka.pl

Cześć,
Czy ktoś z was studiował książkę Kuratowskiego i Mostowskiego pt. "Teoria Mnogości" z serii Monografie Matematyczne? Jeśli tak, to proszę o podpowiedź dotyczącą zagadnienia "Składowe". Mianowicie, gdzie znajdę szersze wyjaśnienie tego zagadnienia?

"Niech \(\displaystyle{ A_{1}, ... , A_{n} }\) będą dowolnymi podzbiorami przestrzeni \(\displaystyle{ 1 }\).
Oznaczamy:
\(\displaystyle{ A^{1}_{i} = 1-A _{i} }\); \(\displaystyle{ A^{0} _{i} = A_{i}}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2,...,n }\)

Każdy iloczyn postaci:
\(\displaystyle{ A^{i_1}_{1} \cap ... \cap A^{i_n}_{n} }\) \(\displaystyle{ (i_{k}=0 }\) lub \(\displaystyle{ i_{k}=1 }\) dla \(\displaystyle{ k=1,2,...,n) }\)
nazywamy składową."

Dalej są opisane własności:
- rozłączności dwóch różnych składowych
- sumy wszystkich składowych, iż jest ona równa 1.

Mam problem ze zrozumieniem tego zagadnienia.
np. Dlaczego \(\displaystyle{ A^{0} _{i} = A_{i}}\), a nie \(\displaystyle{ A^{0} _{i} = 0 - A_{i}}\)
Również nie rozumiem z czego wynikają później podane własności i jak przeprowadzić ich dowód.

IksIksinski pisze: 11 lis 2024, o 00:14 np. Dlaczego \(\displaystyle{ A^{0} _{i} = A_{i}}\), a nie \(\displaystyle{ A^{0} _{i} = 0 - A_{i}}\)

Bo taka jest definicja. Mając dany zbiór \(\displaystyle{ A}\) bierzesz albo jego samego (i oznaczasz \(\displaystyle{ A^0:=A}\)), albo jego dopełnienie (i oznaczasz \(\displaystyle{ A^1:=A^c}\)). Nie przywiązuj się do tego zera i jedynki, one nie mają znaczenia. Poza tym notacja w Kuratowskim, Mostowskim ma dobrze ponad 50 lat i jest nieco... przestarzała.

A składowe łatwo zrozumieć patrząc na diagram Venna.

JK

Jak wyszukać zatem to zagadnienie "składowych zbioru" w sieci? Czy to tożsame pojęcie z "Partition in Set Theory"? Nie znalazłem żadnego rozumowania, które nie przyjmuje rozłączności składowych i sumy wszystkich składowych = przestrzeń za warunki, aby pewna rodzina zbiorów była podziałem na składowe. W w.w. książce jest to wyprowadzone za pomocą powyższych definicji.

Weź sobie na początek dwa zbiory i narysuj te składowe. Potem trzy.