Jeśli mamy prostokąt \(\displaystyle{ X \times Y}\), oraz mamy rodzinę \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) funkcji częściowych z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\), określonych na podzbiorach zbioru \(\displaystyle{ X,}\) na zbiorach rozłącznych, wtedy suma \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B} }\) jest funkcją ze zbioru \(\displaystyle{ \bigcup_{f \in \mathbb{B}} f_L}\) w zbiór \(\displaystyle{ Y}\), co udowodniłem: TUTAJ.
W przypadku, gdy rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest przeliczalna, wtedy taką funkcję na sumie tego przeliczalnego ciągu zbiorów możemy ją zdefiniować w sposób indukcyjny, opisałem to niedawno: TUTAJ.
Udowodniłem przedwczoraj, że jeśli mamy prostokąt \(\displaystyle{ X \times Y}\), oraz mamy taką rodzinę funkcji częściowych z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\) określonych na rozłącznych podzbiorach zbioru \(\displaystyle{ X}\), i gdy z każdą funkcją \(\displaystyle{ f \in \mathbb{B}}\) mamy jeden zbiór \(\displaystyle{ A_f \subset f_L}\), to obraz funkcji, którą jest suma funkcji z rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\), wtedy suma \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}}\) jest funkcją, i obraz sumy tych zbiorów \(\displaystyle{ A_f}\) przez tą funkcję, którą jest suma funkcji, jest równy sumie obrazów kolejnych funkcji, obrazów odpowiednich im zbiorów \(\displaystyle{ A_f}\). Udowodniłem też wczoraj podobny fakt dla przeciwobrazów. Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.
Rozważmy prostokąt \(\displaystyle{ X \times Y}\), oraz rozważmy rodzinę \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) funkcji częściowych z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y }\) określonych na dziedzinach rozłącznych. Wtedy \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}}\) jest funkcją ze zbioru \(\displaystyle{ \bigcup_{f \in \mathbb{B}} f_L}\) w zbiór \(\displaystyle{ Y.}\) Przypuśćmy, że dla każdej funkcji \(\displaystyle{ f \in \mathbb{B}}\) mamy jeden zbiór \(\displaystyle{ A_f \subset f_L}\); formalnie mamy tu rodzinę indeksowaną \(\displaystyle{ \left( A_f\right) _{f \in \mathbb{B}}}\), czyli mamy funkcję \(\displaystyle{ A:\mathbb{B} \rightarrow P(X)}\), działającą w poniższy sposób:
\(\displaystyle{ f \in \mathbb{B}\stackrel { A}{ \rightarrow } A_f \subset f_L \subset X.}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{ \bigcup\mathbb{B}} \left( \bigcup_{f \in \mathbb{B}} A_f\right) = \bigcup_{f \in \mathbb{B}} \stackrel{ \rightarrow }{f} \left( A_f\right)}\),
czyli obraz sumy takich zbiorów \(\displaystyle{ A_f,}\) gdzie \(\displaystyle{ f \in \mathbb{B}}\), przez funkcję, którą jest suma funkcji, taki obraz jest równy sumie obrazów wszystkich funkcji tej rodziny, obrazów odpowiednich im zbiorów \(\displaystyle{ A_f}\).
DOWÓD TEGO FAKTU:
Niech \(\displaystyle{ f \in \mathbb{B}}\).
Wykażemy najpierw równość:
\(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f} \left( A_f\right)= \left( \stackrel{ \rightarrow }{ \bigcup \mathbb{B}}\right) \left( A_f\right).}\)
DOWÓD TEGO FAKTU::
\(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f} \left( A_f\right) = \stackrel{ \rightarrow } {\bigcup\mathbb{B}} \left( A_f\right),}\)
dla każdej funkcji \(\displaystyle{ f \in \mathbb{B}.}\)
A zatem:
\(\displaystyle{ \left\{ \stackrel{ \rightarrow }{f} \left( A_f\right): \ f \in \mathbb{B} \right\} = \left\{ \stackrel{ \rightarrow } {\bigcup\mathbb{B}} \left( A_f\right): \ f \in \mathbb{B}\right\};}\)
a zatem, ponieważ dla danej rodziny zbiorów istnieje tylko jedna jej suma, więc:
\(\displaystyle{ \bigcup \left\{ \stackrel{ \rightarrow }{f} \left( A_f\right): \ f \in \mathbb{B} \right\} = \bigcup\left\{ \stackrel{ \rightarrow } {\bigcup\mathbb{B}} \left( A_f\right): \ f \in \mathbb{B}\right\}.}\)
A zatem, ponieważ dla jednej i tej samej funkcji, wtedy obraz sumy podzbiorów dziedziny tej funkcji jest równy sumie obrazów, więc :
\(\displaystyle{ \stackrel \rightarrow { \bigcup\mathbb{B}} \left( \bigcup_{f \in \mathbb{B}} A_f \right)= \bigcup_{f \in \mathbb{B}} \left( \stackrel { \rightarrow }{ \bigcup\mathbb{B}} \left( A_f\right) \right)= \bigcup_{f \in \mathbb{B}} \stackrel { \rightarrow }{f} \left( A_f\right). \square}\)
Wykażemy podobny fakt dla przeciwobrazów, tzn.:
Rozważmy prostokąt \(\displaystyle{ X \times Y. }\)
Rozważmy rodzinę funkcji częściowych z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\) określonych na rozłącznych podzbiorach zbioru \(\displaystyle{ X}\). Wtedy suma \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}}\) jest funkcją ze zbioru \(\displaystyle{ \bigcup_{f \in \mathbb{B}} f_L}\) w zbiór \(\displaystyle{ Y}\).
Niech \(\displaystyle{ B \subset Y}\).
Wtedy przeciwobraz tego zbioru przez funkcję, którą jest suma funkcji, jest równy sumie przeciwobrazów tego zbioru, przez kolejne funkcje tej rodziny, tzn.:
\(\displaystyle{ \stackrel { \rightarrow }{\left( \bigcup\mathbb{B}\right) ^{-1} } \left( B\right) = \bigcup_{ f \in \mathbb{B}} \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left( B\right)}\).
DOWÓD TEGO FAKTU::
