Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ r}\) będzie relacją w zbiorze wszystkich wielomianów o współczynnikach całkowitych, taką że \(\displaystyle{ f r g}\) wtedy i tylko wtedy gdy wielomian \(\displaystyle{ f - g}\) ma każdy współczynnik parzysty.
1. Ile jest klas abstrakcji relacji \(\displaystyle{ r}\)?
2. Wskaż jakie liczby kardynalne są mocami klas abstrakcji relacji \(\displaystyle{ r}\).

co do 1., to na początku myślałem, że odpowiedzią jest \(\displaystyle{ \aleph_0}\), ponieważ każdą klasę abstrakcji można zakodować używając ciągu \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\), gdzie \(\displaystyle{ 0}\) oznacza liczbę parzystą przy danym współczynniku, a \(\displaystyle{ 1}\) nieparzystą. Wtedy do każdego takiego ciągu możemy podstawić \(\displaystyle{ 1}\) na początek i otrzymamy pewną liczbę naturalną zapisaną w systemie binarnym. Jednak z drugiej strony jest to \(\displaystyle{ \left\{ 0, 1\right\} ^{\mathbf N} }\) czyli \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\). Które rozumowanie jest błędne i dlaczego? A może oba są błędne?

A ile jest wielomianów o współczynnikach całkowitych?

Nie wiem. Powiedziałbym, że \(\displaystyle{ \aleph_0 ^{\aleph_0} }\), ale skoro pytasz, to pewnie \(\displaystyle{ \aleph_0}\). Jeśli tak, to nie rozumiem dlaczego. Mam nadzieję, że mi wyjaśnisz i z góry dziękuję.

Awdsfsaf6 pisze: ↑6 gru 2023, o 21:44 Nie wiem. Powiedziałbym, że \(\displaystyle{ \aleph_0 ^{\aleph_0} }\), ale skoro pytasz, to pewnie \(\displaystyle{ \aleph_0}\). Jeśli tak, to nie rozumiem dlaczego.

Wielomiany można utożsamiać z ciągami skończonymi.

Janusz Tracz pisze: ↑6 gru 2023, o 22:20 Wielomiany można utożsamiać z ciągami skończonymi.

Rozumiem, że wtedy moc będzie równa \(\displaystyle{ \aleph_0}\), bo np. dla ciągów długości \(\displaystyle{ n}\) to będzie \(\displaystyle{ \mathbb{Z} ^{n} }\), czyli \(\displaystyle{ \aleph_0}\) i tak dla każdej długości \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\), czyli w sumie \(\displaystyle{ \aleph_0 * \aleph_0}\) czyli \(\displaystyle{ \aleph_0}\). Dobrze myślę?
Natomiast nie rozumiem skąd wynika fakt, że wielomiany można utożsamiać z ciągami skończonymi. Dlaczego nie mogą być nieskończone?

Awdsfsaf6 pisze: ↑6 gru 2023, o 22:34 Rozumiem, że wtedy moc będzie równa \(\displaystyle{ \aleph_0}\), bo np. dla ciągów długości \(\displaystyle{ n}\) to będzie \(\displaystyle{ \mathbb{Z} ^{n} }\), czyli \(\displaystyle{ \aleph_0}\) i tak dla każdej długości \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\), czyli w sumie \(\displaystyle{ \aleph_0 * \aleph_0}\) czyli \(\displaystyle{ \aleph_0}\). Dobrze myślę?

Tak.

Awdsfsaf6 pisze: ↑6 gru 2023, o 22:34 Natomiast nie rozumiem skąd wynika fakt, że wielomiany można utożsamiać z ciągami skończonymi. Dlaczego nie mogą być nieskończone?

To wynika z istoty naturalnego utożsamienia. Bierzemy wielomian i patrzymy na jego współczynniki. Jest ich skończenie wiele. Więc to ciąg skończony.

Awdsfsaf6 pisze: ↑6 gru 2023, o 22:34 Dlaczego nie mogą być nieskończone?

Mogą
Ale będą zerami od pewnego miejsca.

Inaczej- jaki byłby stopień takiego wielomianu, który miałby nieskończenie wiele niezerowych współczynników?

Awdsfsaf6 pisze: ↑6 gru 2023, o 21:31 Niech \(\displaystyle{ r}\) będzie relacją w zbiorze wszystkich wielomianów o współczynnikach całkowitych, taką że \(\displaystyle{ f r g}\) wtedy i tylko wtedy gdy wielomian \(\displaystyle{ f - g}\) ma każdy współczynnik parzysty.
1. Ile jest klas abstrakcji relacji \(\displaystyle{ r}\)?
2. Wskaż jakie liczby kardynalne są mocami klas abstrakcji relacji \(\displaystyle{ r}\).

viewtopic.php?p=5661375

Zawsze warto sprawdzić, czy kolega z roku nie wrzucił podobnego pytania nieco wcześniej...

JK