Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ ℛ}\) będzie zbiorem wszystkich relacji równoważności w zbiorze \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\) i niech \(\displaystyle{ 𝑔 : ℛ\to P(P(\mathbb{N}))}\)
będzie taka, że \(\displaystyle{ 𝑔(𝑟) = \mathbb{N}/𝑟}\), dla dowolnego \(\displaystyle{ 𝑟 ∈ ℛ}\).
(a) Znaleźć \(\displaystyle{ \bigcup_{𝑟∈ℛ} 𝑔(𝑟)}\) i \(\displaystyle{ \bigcap_{𝑟∈ℛ} 𝑔(𝑟)}\).
(b) Czy \(\displaystyle{ 𝑔}\) jest różnowartościowa, czy jest „na”?
(c) Znaleźć \(\displaystyle{ 𝑔(ℛ)}\) oraz \(\displaystyle{ 𝑔 ^{-1} (\left\{ 𝑍 ⊆ P(\mathbb{N}) : |𝑍| = 1 \right\})}\) i \(\displaystyle{ 𝑔 ^{-1} (\left\{ \left\{ 𝑍 ∈ P(\mathbb{N}) : |𝑍| = 1 \right\} \right\}) }\)

To jest taki rodzaj zadania, które odstrasza treścią, która wygląda na bardzo trudną. A tak naprawdę jedyna trudność w tym zadaniu to zrozumienie pytania, bo odpowiedzi są bardzo proste.

I tak np. w a) masz wyznaczyć \(\displaystyle{ \bigcup_{𝑟\in ℛ} 𝑔(𝑟).}\) Po pierwsze należy zauważyć, że dla dowolnego \(\displaystyle{ 𝑟\in ℛ}\) mamy \(\displaystyle{ 𝑔(𝑟)\subseteq P(\NN)}\), czyli \(\displaystyle{ 𝑔(𝑟)}\) jest rodziną podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \NN}\) (a nawet dokładniej - podziałem zbioru \(\displaystyle{ \NN}\), bo to zbiór ilorazowy). Wobec tego zbiór \(\displaystyle{ \bigcup_{𝑟\in ℛ} 𝑔(𝑟)}\) także jest rodziną podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \NN.}\) Po drugie, z def. sumy mamy \(\displaystyle{ A\in\bigcup_{𝑟\in ℛ} 𝑔(𝑟)}\) dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ A\in 𝑔(𝑟)=\NN/r}\) dla pewnej relacji równoważności \(\displaystyle{ r}\), czyli gdy \(\displaystyle{ A}\) jest klasą abstrakcji pewnej relacji równoważności. Ponieważ każdy niepusty podzbiór zbioru \(\displaystyle{ \NN}\) może być klasą abstrakcji jakiejś relacji równoważności (a pusty - nie), więc \(\displaystyle{ \bigcup_{𝑟\in ℛ} 𝑔(𝑟)=P(\NN)\setminus\{\emptyset\}.}\)

Postaraj się podobnie poradzić sobie z pozostałymi podpunktami.

JK

Jan Kraszewski pisze: ↑6 gru 2023, o 23:19
Postaraj się podobnie poradzić sobie z pozostałymi podpunktami.

JK

\(\displaystyle{ \bigcap_{𝑟∈ℛ} 𝑔(𝑟)}\) będzie zbiorem pustym, ponieważ jeśli dla pewnego \(\displaystyle{ r _{1}, g(r _{1} ) }\) będzie równe \(\displaystyle{ \mathbb{N}
}\) , a dla \(\displaystyle{ r _{2}, g(r _{2} ) }\) będzie np. parami kolejnych liczb, \(\displaystyle{ \left\{ 0, 1\right\}, \left\{ 2, 3\right\}... }\) to ich przecięcie będzie zbiorem pustym, a przecięcie zbioru pustego z czymkolwiek innym będzie również zbiorem pustym.
W b) funkcja nie będzie \(\displaystyle{ "na" }\), ponieważ podział nigdy nie jest zbiorem pustym, a zbiór pusty zawiera się w \(\displaystyle{ P(\mathbb{N}) }\). Nie będzie też \(\displaystyle{ "1-1"}\), ponieważ dwie różne relacje mogą mieć takie same klasy abstrakcji, a co za tym idzie tak samo dzielić zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{N} }\). Czyli dla dwóch różnych argumentów funkcja przyjmie tę samą wartość.
Czy dobrze myślę?

Dodano po 23 minutach 37 sekundach:
Natomiast w c, czy \(\displaystyle{ 𝑔(ℛ)}\) nie będzie tym samym co \(\displaystyle{ \bigcup_{𝑟∈ℛ} 𝑔(𝑟)}\)? Jeśli nie to dlaczego?
\(\displaystyle{ 𝑔 ^{-1} (\left\{ 𝑍 ⊆ P(\mathbb{N}) : |𝑍| = 1 \right\})}\) będzie zbiorem wszystkich relacji równoważności, które mają tylko 1 klasę abstrakcji - (\(\displaystyle{ \mathbb{N}}\))?
\(\displaystyle{ 𝑔 ^{-1} (\left\{ \left\{ 𝑍 ∈ P(\mathbb{N}) : |𝑍| = 1 \right\} \right\}) }\) będzie zbiorem pustym, ponieważ w przeciwnym wypadku jakaś relacja musiałaby mieć tylko 1 klasę abstrakcji, która jest singletonem pewnej liczby naturalnej(?)
Nie wiem czy dobrze zrozumiałem polecenie, więc bardzo możliwe, że piszę totalne bzdury.

Awdsfsaf6 pisze: ↑7 gru 2023, o 14:12\(\displaystyle{ \bigcap_{𝑟∈ℛ} 𝑔(𝑟)}\) będzie zbiorem pustym, ponieważ jeśli dla pewnego \(\displaystyle{ r _{1}, g(r _{1} ) }\) będzie równe \(\displaystyle{ \mathbb{N}
}\) , a dla \(\displaystyle{ r _{2}, g(r _{2} ) }\) będzie np. parami kolejnych liczb, \(\displaystyle{ \left\{ 0, 1\right\}, \left\{ 2, 3\right\}... }\) to ich
przecięcie będzie zbiorem pustym, a przecięcie zbioru pustego z czymkolwiek innym będzie również zbiorem pustym.

Dobrze.

Awdsfsaf6 pisze: ↑7 gru 2023, o 14:12 W b) funkcja nie będzie \(\displaystyle{ "na" }\), ponieważ podział nigdy nie jest zbiorem pustym, a zbiór pusty zawiera się w \(\displaystyle{ P(\mathbb{N}) }\).

Istotnie, element \(\displaystyle{ \emptyset\in P(P(\NN))}\) nie jest wartością tej funkcji, bo rodzina pusta nie jest podziałem.

Awdsfsaf6 pisze: ↑7 gru 2023, o 14:12 Nie będzie też \(\displaystyle{ "1-1"}\), ponieważ dwie różne relacje mogą mieć takie same klasy abstrakcji, a co za tym idzie tak samo dzielić zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{N} }\). Czyli dla dwóch różnych argumentów funkcja przyjmie tę samą wartość.
Czy dobrze myślę?

Bardzo źle, bo podstawowe twierdzenie dotyczące relacji równoważności jest takie, ze istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy relacjami równoważności na zbiorze a podziałami tego zbioru. W szczególności różne relacje równoważności mają różne zbiory ilorazowe (co można też uzasadnić wprost - spróbuj).

Awdsfsaf6 pisze: ↑7 gru 2023, o 14:12 Natomiast w c, czy \(\displaystyle{ 𝑔(ℛ)}\) nie będzie tym samym co \(\displaystyle{ \bigcup_{𝑟∈ℛ} 𝑔(𝑟)}\)? Jeśli nie to dlaczego?

Nie, bo \(\displaystyle{ \bigcup_{𝑟∈ℛ} 𝑔(𝑟) \subseteq P(\NN)}\), zaś \(\displaystyle{ 𝑔(ℛ) \subseteq P(P(\NN)).}\)

\(\displaystyle{ 𝑔(ℛ)}\) to po prostu zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ g}\), czyli zbiór wszystkich podziałów zbioru \(\displaystyle{ \NN.}\)

Awdsfsaf6 pisze: ↑7 gru 2023, o 14:12 \(\displaystyle{ 𝑔 ^{-1} (\left\{ 𝑍 ⊆ P(\mathbb{N}) : |𝑍| = 1 \right\})}\) będzie zbiorem wszystkich relacji równoważności, które mają tylko 1 klasę abstrakcji - (\(\displaystyle{ \mathbb{N}}\))?

To dobra obserwacja, ale jeszcze nie odpowiedź. Odpowiedź powinna być postaci \(\displaystyle{ 𝑔 ^{-1} (\left\{ 𝑍 ⊆ P(\mathbb{N}) : |𝑍| = 1 \right\})=\{\red{\text{[do uzupełnienia]}}\}.}\)

Awdsfsaf6 pisze: ↑7 gru 2023, o 14:12\(\displaystyle{ 𝑔 ^{-1} (\left\{ \left\{ 𝑍 ∈ P(\mathbb{N}) : |𝑍| = 1 \right\} \right\}) }\) będzie zbiorem pustym, ponieważ w przeciwnym wypadku jakaś relacja musiałaby mieć tylko 1 klasę abstrakcji, która jest singletonem pewnej liczby naturalnej(?)

Zupełnie źle. Zauważ, że \(\displaystyle{ \left\{ \left\{ 𝑍 ∈ P(\mathbb{N}) : |𝑍| = 1 \right\} \right\}=\{\{\{n\}:n\in\NN\}\}}\) szukasz więc zbioru relacji, których zbiorem ilorazowym jest zbiór wszystkich singletonów.

JK

Jan Kraszewski pisze: ↑7 gru 2023, o 16:57 Bardzo źle, bo podstawowe twierdzenie dotyczące relacji równoważności jest takie, ze istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy relacjami równoważności na zbiorze a podziałami tego zbioru. W szczególności różne relacje równoważności mają różne zbiory ilorazowe (co można też uzasadnić wprost - spróbuj).

Czyli mówiąc krótko, jeśli dwie różne relacje mają takie same klasy abstrakcji w danym zbiorze, to są tą samą relacją (w owym zbiorze)? Chodzi tutaj wyłącznie o relacje równoważności?

Dodano po 1 minucie 28 sekundach:
To by oznaczało, że \(\displaystyle{ g}\) jest \(\displaystyle{ "1-1"}\), tak?

Awdsfsaf6 pisze: ↑7 gru 2023, o 21:02 Czyli mówiąc krótko, jeśli dwie różne relacje mają takie same klasy abstrakcji w danym zbiorze, to są tą samą relacją (w owym zbiorze)?

To by oznaczało, że \(\displaystyle{ g}\) jest \(\displaystyle{ "1-1"}\), tak?

Tak - jeżeli relacje równoważności wyznaczają ten sam zbiór ilorazowy, to są równe. Czyli \(\displaystyle{ g}\) jest 1-1.

Awdsfsaf6 pisze: ↑7 gru 2023, o 21:02 Chodzi tutaj wyłącznie o relacje równoważności?

A o jakie inne? Przecież pojęcia klasy abstrakcji czy zbioru ilorazowego dotyczą wyłącznie relacji równoważności.

JK

Jan Kraszewski pisze: ↑7 gru 2023, o 21:06 Tak - jeżeli relacje równoważności wyznaczają ten sam zbiór ilorazowy, to są równe.

W takim razie w podpunkcie c) będzie tylko jedna taka relacja \(\displaystyle{ 𝑔 ^{-1} (\left\{ 𝑍 ⊆ P(\mathbb{N}) : |𝑍| = 1 \right\})}\) i jedna \(\displaystyle{ 𝑔 ^{-1} (\left\{ \left\{ 𝑍 ∈ P(\mathbb{N}) : |𝑍| = 1 \right\} \right\}) }\) ?
Jednak nie mam pomysłu jak uzupełnić ten fragment, w drugim przykładzie też.

Jan Kraszewski pisze: ↑7 gru 2023, o 16:57 To dobra obserwacja, ale jeszcze nie odpowiedź. Odpowiedź powinna być postaci \(\displaystyle{ 𝑔 ^{-1} (\left\{ 𝑍 ⊆ P(\mathbb{N}) : |𝑍| = 1 \right\})=\{\red{\text{[do uzupełnienia]}}\}.}\)

\(\displaystyle{ 𝑔 ^{-1} (\left\{ 𝑍 ⊆ P(\mathbb{N}) : |𝑍| = 1 \right\})=\{r \in R: \mathbb{N} _{/r} = \left\{ \mathbb{N}\right\} \}.}\) ?

Awdsfsaf6 pisze: ↑7 gru 2023, o 21:24 \(\displaystyle{ 𝑔 ^{-1} (\left\{ 𝑍 ⊆ P(\mathbb{N}) : |𝑍| = 1 \right\})=\{r \in R: \mathbb{N} _{/r} = \left\{ \mathbb{N}\right\} \}.}\) ?

To jest prawda, ale dla mnie taka odpowiedź jest niesatysfakcjonująca, bo to w zasadzie przepisanie definicji i nie świadczy jeszcze o zrozumieniu. A powinno być \(\displaystyle{ 𝑔 ^{-1} (\left\{ 𝑍 ⊆ P(\mathbb{N}) : |𝑍| = 1 \right\})=\{\NN^2\},}\) bo jedyna relacja równoważności, która ma jedną klasę abstrakcji to relacja pełna, czyli \(\displaystyle{ r=\NN^2.}\)

Pomyśl o drugim przykładzie - to istotnie też jest zbiór jednoelementowy, a jego elementem jest pewna bardzo znana relacja...

JK

Jan Kraszewski pisze: ↑7 gru 2023, o 16:57
Nie, bo \(\displaystyle{ \bigcup_{𝑟∈ℛ} 𝑔(𝑟) \subseteq P(\NN)}\), zaś \(\displaystyle{ 𝑔(ℛ) \subseteq P(P(\NN)).}\)
\(\displaystyle{ 𝑔(ℛ)}\) to po prostu zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ g}\), czyli zbiór wszystkich podziałów zbioru \(\displaystyle{ \NN.}\)

W takim razie czy \(\displaystyle{ 𝑔(ℛ)}\) będzie równe \(\displaystyle{ P(P(\NN)) - \left\{ \left\{ \emptyset\right\}\emptyset \right\} }\)?

Dodano po 45 sekundach:

Jan Kraszewski pisze: ↑7 gru 2023, o 21:42 Pomyśl o drugim przykładzie - to istotnie też jest zbiór jednoelementowy, a jego elementem jest pewna bardzo znana relacja...

Relacja równości?

Dodano po 5 minutach 52 sekundach:

Jan Kraszewski pisze: ↑7 gru 2023, o 21:42 \(\displaystyle{ 𝑔 ^{-1} (\left\{ 𝑍 ⊆ P(\mathbb{N}) : |𝑍| = 1 \right\})=\{\NN^2\},}\) bo jedyna relacja równoważności, która ma jedną klasę abstrakcji to relacja pełna, czyli \(\displaystyle{ r=\NN^2.}\)

Czy ta relacja polega na tym, że jeśli dana para liczb należy do zbioru A, to jest w relacji? tzn. \(\displaystyle{ (a,b) \in r }\) określonej w zbiorze A, wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a,b \in A }\)?

Awdsfsaf6 pisze: ↑7 gru 2023, o 23:15 W takim razie czy \(\displaystyle{ 𝑔(ℛ)}\) będzie równe \(\displaystyle{ 𝑔 P(P(\NN)) - \left\{ \left\{ \emptyset\right\}\emptyset \right\} }\)?

A co to jest za zapis?!
Nie. Zbiór \(\displaystyle{ 𝑔(ℛ)}\) to - zgodnie ze wspomnianym najważniejszym twierdzeniem - zbiór wszystkich podziałów zbioru \(\displaystyle{ \NN.}\)

Awdsfsaf6 pisze: ↑7 gru 2023, o 23:15 Relacja równości?

Tak. Czyli ten przeciwobraz to \(\displaystyle{ \{\{(x,x):x\in\NN\}\}.}\)

JK

Jan Kraszewski pisze: ↑7 gru 2023, o 23:28 A co to jest za zapis?!
Nie. Zbiór \(\displaystyle{ 𝑔(ℛ)}\) to - zgodnie ze wspomnianym najważniejszym twierdzeniem - zbiór wszystkich podziałów zbioru \(\displaystyle{ \NN.}\)

g wpisałem przypadkiem, poprawiłem już. Chodziło o to, czy coś jeszcze? Wydaje mi się, że \(\displaystyle{ P(P(\NN))}\) bez zbiorów pustych jest zbiorem wszystkich podziałów \(\displaystyle{ \NN}\).

Awdsfsaf6 pisze: ↑7 gru 2023, o 23:34Wydaje mi się, że \(\displaystyle{ P(P(\NN))}\) bez zbiorów pustych jest zbiorem wszystkich podziałów \(\displaystyle{ \NN}\).

No skąd! Przecież podziały \(\displaystyle{ \NN}\) to elementy \(\displaystyle{ P(P(\NN))}\) (czyli podzbiory \(\displaystyle{ P(\NN)}\)) spełniające bardzo specjalne warunki - można powiedzieć, że losowo wybrany element \(\displaystyle{ P(P(\NN))}\) ma małą szansę na bycie podziałem.

JK

Czy chodzi o to, aby każdy element \(\displaystyle{ 𝑔(ℛ)}\) "sumował się" do \(\displaystyle{ \NN}\)? Czyli dla dowolnego \(\displaystyle{ x \in𝑔(ℛ) }\), \(\displaystyle{ \bigcup x = \NN }\)?

To za mało. Z definicji rodzina \(\displaystyle{ S \subseteq P(X)}\) jest podziałem zbioru \(\displaystyle{ X}\) jeśli spełnia trzy warunki:
1. \(\displaystyle{ (\forall A\in S)A\ne \emptyset}\)
2. \(\displaystyle{ (\forall A,B\in S)(A\ne S \Rightarrow A\cap B=\emptyset)}\)
3. \(\displaystyle{ \bigcup S=X}\)
czyli jest to rodzina niepustych, parami rozłącznych podzbiorów \(\displaystyle{ X}\), które w sumie dają wszystko.

Okej, dziękuję bardzo, a czy

Awdsfsaf6 pisze: ↑7 gru 2023, o 23:20
Dodano po 5 minutach 52 sekundach:

Jan Kraszewski pisze: ↑7 gru 2023, o 21:42 \(\displaystyle{ 𝑔 ^{-1} (\left\{ 𝑍 ⊆ P(\mathbb{N}) : |𝑍| = 1 \right\})=\{\NN^2\},}\) bo jedyna relacja równoważności, która ma jedną klasę abstrakcji to relacja pełna, czyli \(\displaystyle{ r=\NN^2.}\)

Czy ta relacja polega na tym, że jeśli dana para liczb należy do zbioru A, to jest w relacji? tzn. \(\displaystyle{ (a,b) \in r }\) określonej w zbiorze A, wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a,b \in A }\)?

?