Matematyka.pl

Z poniższych relacji, dobrze ufundowane są:
a) \(\displaystyle{ x, y \in \NN; (x, y) \in r \Leftrightarrow x ≥ y }\)
b) \(\displaystyle{ x, y \in \ZZ; (x, y) \in r \Leftrightarrow x < y }\)
c) \(\displaystyle{ x, y \in \NN; (x, y) \in r \Leftrightarrow x ≤ 2y}\)
d)\(\displaystyle{ x, y \in \NN; (x, y) \in r \Leftrightarrow x = y }\)

Proszę o sprawdzenie, nie wiem czy dobrze rozumiem te relacje dobrze ufundowane:
a) Jest to relacja dobrze ufundowana, bo nie istnieje nieskończony ciąg zstępujący. Najmniejszy bowiem element to zero i każdy ciąg zstępujący będzie skończony.
b) Nie jest to relacja dobrze ufundowana, bo istnieje nieskończony ciąg zstępujący np. \(\displaystyle{ 1,2,3,4,...}\).
c) Nie jest to relacja dobrze ufundowana, bo istnieje nieskończony ciąg zstępujący np. \(\displaystyle{ 1,2,4,8,16,...}\).
d) Jest to relacja dobrze ufundowana, bo nie istnieje nieskończony ciąg zstępujący. Wszystkie ciągi są jednoelementowe.

max123321 pisze: 13 maja 2025, o 14:05 Z poniższych relacji, dobrze ufundowane są:
a) \(\displaystyle{ x, y \in \NN; (x, y) \in r \Leftrightarrow x ≥ y }\)
b) \(\displaystyle{ x, y \in \ZZ; (x, y) \in r \Leftrightarrow x < y }\)
c) \(\displaystyle{ x, y \in \NN; (x, y) \in r \Leftrightarrow x ≤ 2y}\)
d)\(\displaystyle{ x, y \in \NN; (x, y) \in r \Leftrightarrow x = y }\)

Proszę o sprawdzenie, nie wiem czy dobrze rozumiem te relacje dobrze ufundowane:
a) Jest to relacja dobrze ufundowana, bo nie istnieje nieskończony ciąg zstępujący. Najmniejszy bowiem element to zero i każdy ciąg zstępujący będzie skończony.

Źle, ciąg zstępujący to \(\displaystyle{ 0,1,2,3,4,...}\) Popatrz uważnie na definicję relacji.

max123321 pisze: 13 maja 2025, o 14:05 b) Nie jest to relacja dobrze ufundowana, bo istnieje nieskończony ciąg zstępujący np. \(\displaystyle{ 1,2,3,4,...}\).

Zły przykład, to jest ciąg wstępujący. Ciąg zstępujący to \(\displaystyle{ -1,-2,-3,-4,...}\)

max123321 pisze: 13 maja 2025, o 14:05 c) Nie jest to relacja dobrze ufundowana, bo istnieje nieskończony ciąg zstępujący np. \(\displaystyle{ 1,2,4,8,16,...}\).

Źle. To jest ciąg wstępujący, a relacja jest ufundowana.

max123321 pisze: 13 maja 2025, o 14:05 d) Jest to relacja dobrze ufundowana, bo nie istnieje nieskończony ciąg zstępujący. Wszystkie ciągi są jednoelementowe.

Dobrze. Ufundowanie mamy wprost z definicji.

JK

Poczekaj chwilę, bo nie rozumiem tego a). Relacja to wiem, że jest dowolny podzbiór iloczynu kartezjańskiego zbiorów, ale dlaczego ciąg \(\displaystyle{ 0,1,2,3,4,...}\) jest zstępujący? Żeby tak było to chyba musiałoby być \(\displaystyle{ 0 \ge 1,1 \ge 2,2 \ge 3,3 \ge 4,...}\). Ja chyba tego ciągu zstępującego nie rozumiem.

Nie, musiałoby być \(\displaystyle{ 1 r 0,2 r 1,3 r 2,4 r 3,...}\). I dokładnie tak jest.

Ta relacja nie jest ufundowana, bo w zbiorze \(\displaystyle{ \NN}\) nie ma elementu \(\displaystyle{ r}\)-minimalnego, bo dla każdego \(\displaystyle{ n\in\NN}\) mamy \(\displaystyle{ (n+1)\,r\,n.}\)