Relacja równoważności

Rain95 · Post autor: **Rain95** » 4 lut 2015, o 19:45

Pokazać że relacja jest relacją równoważności

\(\displaystyle{ (x,y) \sim (u,v) \iff x \cdot y=u \cdot v}\)

Gouranga · Post autor: **Gouranga** » 4 lut 2015, o 19:50

Jakie 3 warunki musi spełniać relacja, żeby być relacją równoważności?

Rain95 · Post autor: **Rain95** » 4 lut 2015, o 19:51

1)zwrotna
2)symetryczna
3)przechodnia

Gouranga · Post autor: **Gouranga** » 4 lut 2015, o 20:03

no to jedziesz, zwrotność najpierw sprawdź

Rain95 · Post autor: **Rain95** » 4 lut 2015, o 20:12

czyli : \(\displaystyle{ (x,x) \sim (x,x) \iff x \cdot x=x \cdot x \Rightarrow x=x ?}\)

Post autor: **Jan Kraszewski** » 4 lut 2015, o 20:15

Rain95 pisze:czyli : \(\displaystyle{ (x,x) \sim (x,x) \iff x \cdot x=x \cdot x \Rightarrow x=x ?}\)

Prawie, skąd to \(\displaystyle{ x=x}\) ?

JK

Rain95 · Post autor: **Rain95** » 4 lut 2015, o 20:18

Czyli zamiast \(\displaystyle{ x=x}\) bedzie \(\displaystyle{ x \sim x ?}\)

Tom44 · Post autor: **Tom44** » 4 lut 2015, o 20:22

Zwrotność tak się sprawdza (bo elementami są tutaj pary \(\displaystyle{ (x,y)}\)):

\(\displaystyle{ ( x,y)\sim(x,y) \Leftrightarrow x \cdot y = x \cdot y}\) - co jest zawsze prawdą, a więc jest to relacja zwrotna.

Rain95 · Post autor: **Rain95** » 4 lut 2015, o 20:29

Okej, jeszcze gdyby ktos pomogl z przechodnoscia.
I ponawiam moje pytanie czy jesli chodzi o zwrotnosc to : \(\displaystyle{ (x,x) \sim (x,x) \iff x \cdot x=x \cdot x \Rightarrow x \sim x}\) jest poprawnie ?

Gouranga · Post autor: **Gouranga** » 4 lut 2015, o 20:36

Prawie poprawnie, poprawnie jest:
\(\displaystyle{ (x,y) \sim (x,y)}\) bo pary mają być takie same, ale liczby w parze mogą być różne

Tom44 · Post autor: **Tom44** » 4 lut 2015, o 20:38

Aby sprawdzić przechodniość musisz sprawdzić czy zachodzi następująca implikacja (łatwo to sprawdzić):

\(\displaystyle{ [(a,b)\sim (c,d) \wedge (c,d)\sim (e,f)] \Rightarrow (a,b)\sim (e,f)}\)

Rain95 · Post autor: **Rain95** » 4 lut 2015, o 20:57

Czyli : \(\displaystyle{ [(x,y)\sim (u,v) \wedge (u,v)\sim (k,l)] \Rightarrow x \cdot y=u \cdot v \wedge u \cdot v=k \cdot l \Rightarrow x \cdot y=k \cdot l ?}\)

Gouranga · Post autor: **Gouranga** » 4 lut 2015, o 21:08

tak, jeszcze symetryczność

Tom44 · Post autor: **Tom44** » 4 lut 2015, o 21:09

dokładnie tak, a z tego, że \(\displaystyle{ x\cdot y=k\cdot l}\) wynika, że \(\displaystyle{ (x,y)\sim (k,l)}\) a więc przechodniość już masz z głowy. Jeszcze symetria, ale to już jest trywialne...

Rain95 · Post autor: **Rain95** » 4 lut 2015, o 21:12

Czyli symetria to bedzie tak : \(\displaystyle{ (x,y) \sim (y,x) \Rightarrow x \cdot y=y \cdot x?}\)