Niech \(\displaystyle{ \ZZ[x]}\) oznacza zbiór wszystkich wielomianów zmiennej \(\displaystyle{ x}\) o współczynnikach całkowitych i niech \(\displaystyle{ r}\) będzie taką relacją w zbiorze \(\displaystyle{ \ZZ[x]}\), że \(\displaystyle{ \left\langle f, g\right\rangle \in r}\) zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy różnica \(\displaystyle{ f - g}\) ma wszystkie współczynniki parzyste.
(a) Pokazać, że \(\displaystyle{ r}\) jest relacją równoważności.
(b) Wskazać trzy różne klasy abstrakcji.
(c) Jakiej mocy jest zbiór wszystkich klas abstrakcji?
(d) Wskazać wszystkie liczby kardynalne, które są mocami klas abstrakcji tej relacji.
Jan Kraszewski pisze: ↑3 gru 2023, o 23:02
Jaki masz konkretnie problem z tym zadaniem? Znasz definicję relacji równoważności? To wystarczy, by zrobić (a).
Na razie mam coś takiego:
(a)
1) Zwrotność:
Weźmy dowolny wielomian \(\displaystyle{ f \in \ZZ[x]}\). Wtedy \(\displaystyle{ f - f = 0}\), a \(\displaystyle{ 0}\) jest liczbą parzystą, więc \(\displaystyle{ f - f}\) ma wszystkie współczynniki parzyste (bo ma tylko jeden: \(\displaystyle{ 0}\)). Zatem \(\displaystyle{ \left\langle f, f\right\rangle \in r}\), czyli relacja \(\displaystyle{ r}\) jest zwrotna.
2) Symetryczność:
Możemy zauważyć, że \(\displaystyle{ g - f = - (f - g)}\). Wtedy \(\displaystyle{ r}\) jest symetryczna.
3) Przechodniość:
Z faktu, że \(\displaystyle{ x_i - y_i}\) oraz \(\displaystyle{ y_i - z_i}\) są parzyste wynika, że ich suma, czyli \(\displaystyle{ x_i - z_i}\) też. Wtedy \(\displaystyle{ r}\) jest przechodnia.
(b) \(\displaystyle{ [1] = \{a : a \in \ZZ \wedge a \ jest \ nieparzyste\}}\) \(\displaystyle{ [x] = \{ax + b : a,b \in \ZZ \wedge a \ jest \ nieparzyste \wedge b \ jest \ parzyste\}}\) \(\displaystyle{ [x^{2}] = \{ax^{2} + bx + c : a,b,c \in \ZZ \wedge a \ jest \ nieparzyste \wedge b \ jest \ parzyste \wedge c \ jest \ parzyste\}}\)
Ale nie do konca rozumiem co robić z (c) i (d)?
I czy moich dowodów wystarczy dla pedantycznego sprawdząca?
Augustyn Kaczmarek pisze: ↑4 gru 2023, o 18:16
1) Zwrotność:
Weźmy dowolny wielomian \(\displaystyle{ f \in \ZZ[x]}\). Wtedy \(\displaystyle{ f - f = 0}\), a \(\displaystyle{ 0}\) jest liczbą parzystą, więc \(\displaystyle{ f - f}\) ma wszystkie współczynniki parzyste (bo ma tylko jeden: \(\displaystyle{ 0}\)). Zatem \(\displaystyle{ \left\langle f, f\right\rangle \in r}\), czyli relacja \(\displaystyle{ r}\) jest zwrotna.
2) Symetryczność:
Możemy zauważyć, że \(\displaystyle{ g - f = - (f - g)}\). Wtedy \(\displaystyle{ r}\) jest symetryczna.
3) Przechodniość:
Z faktu, że \(\displaystyle{ x_i - y_i}\) oraz \(\displaystyle{ y_i - z_i}\) są parzyste wynika, że ich suma, czyli \(\displaystyle{ x_i - z_i}\) też. Wtedy \(\displaystyle{ r}\) jest przechodnia.
To słuszne obserwacje, ale dla pedantycznego sprawdzającego mogą być zdecydowanie niewystarczające.
Augustyn Kaczmarek pisze: ↑4 gru 2023, o 18:16(b) \(\displaystyle{ [1] = \{a : a \in \ZZ \wedge a \ jest \ nieparzyste\}}\) \(\displaystyle{ [x] = \{ax + b : a,b \in \ZZ \wedge a \ jest \ nieparzyste \wedge b \ jest \ parzyste\}}\) \(\displaystyle{ [x^{2}] = \{ax^{2} + bx + c : a,b,c \in \ZZ \wedge a \ jest \ nieparzyste \wedge b \ jest \ parzyste \wedge c \ jest \ parzyste\}}\)
To niestety nie są dobrze wyznaczone klasy abstrakcji. Zauważ, że np. \(\displaystyle{ 2x^2+1\in[1]_r, 2x^2+x\in[x]_r}\) czy \(\displaystyle{ 2x^3-x^2\in[x^2]_r.}\)
Augustyn Kaczmarek pisze: ↑4 gru 2023, o 18:16Ale nie do konca rozumiem co robić z (c) i (d)?
Jeśli chodzi o c), to powinieneś wiedzieć, że zbiór \(\displaystyle{ \ZZ[x]}\) jest przeliczalny, jeśli więc wskażesz nieskończenie wiele parami nierównoważnych wielomianów, to z tw. Cantora-Bernsteina dostaniesz \(\displaystyle{ \left| \ZZ[x]/_r\right|=\aleph_0 }\) (dlaczego?).
Jeśli chodzi o d), to zastanów się, czy istnieją skończone klasy abstrakcji (a jeśli nie, to dlaczego) i co z tego wynika.
