Matematyka.pl

Czy relacja \(\displaystyle{ r}\) zdefiniowana jako: \(\displaystyle{ x, y \in \NN_+; (x, y) \in r \Leftrightarrow x|y}\) :
a) Jest relacją dobrego porządku
b) Jest relacją częściowego porządku
c) Jest dobrze ufundowana
d) Nie jest relacją porządku

Proszę o sprawdzenie:
a) Nie jest to prawda, bo nie wszystkie elementy są ze sobą porównywalne, nie są ze sobą w relacji na przykład \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3}\).
b) To oczywiście tak, łatwo wykazać, że jest zwrotna bo dla dowolnego \(\displaystyle{ x, \in \NN_+}\) jest oczywiście \(\displaystyle{ x|x}\). Przechodnia bo, jak \(\displaystyle{ x|y}\) i \(\displaystyle{ y|z}\) to \(\displaystyle{ x|z}\). To wynika z jednoznaczności rozkładu na czynniki pierwsze.
Antysymetryczna też jest, bo jeśli jakaś liczba dzieli drugą liczbę, to druga nie dzieli pierwszej, chyba, że te liczby są równe.
c) Tu nie jestem do końca pewny, ale wydaje mi się, że ta relacja jest relacją dobrze ufundowaną, bo nie istnieje nieskończony ciąg zstępujący. Myślę, że tak jest gdyż, każda liczba naturalna ma skończoną liczbę dzielników i najmniejszym z nich jest jeden i dalej już nie możemy zejść.
d) To oczywiście fałsz, gdyż b) jest prawdą.

max123321 pisze: 19 maja 2025, o 01:29 a) Nie jest to prawda, bo nie wszystkie elementy są ze sobą porównywalne, nie są ze sobą w relacji na przykład \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3}\).

OK.

max123321 pisze: 19 maja 2025, o 01:29 b) To oczywiście tak, łatwo wykazać, że jest zwrotna bo dla dowolnego \(\displaystyle{ x, \in \NN_+}\) jest oczywiście \(\displaystyle{ x|x}\). Przechodnia bo, jak \(\displaystyle{ x|y}\) i \(\displaystyle{ y|z}\) to \(\displaystyle{ x|z}\). To wynika z jednoznaczności rozkładu na czynniki pierwsze.

To wynika z definicji podzielności.

max123321 pisze: 19 maja 2025, o 01:29 Antysymetryczna też jest, bo jeśli jakaś liczba dzieli drugą liczbę, to druga nie dzieli pierwszej, chyba, że te liczby są równe.

To w ogólności nie jest prawda, bo \(\displaystyle{ 1\mid -1}\) i \(\displaystyle{ -1\mid 1}\), ale \(\displaystyle{ 1\ne-1}\) (choć tu akurat jest, ale trzeba coś dodać).

max123321 pisze: 19 maja 2025, o 01:29 c) Tu nie jestem do końca pewny, ale wydaje mi się, że ta relacja jest relacją dobrze ufundowaną, bo nie istnieje nieskończony ciąg zstępujący. Myślę, że tak jest gdyż, każda liczba naturalna ma skończoną liczbę dzielników i najmniejszym z nich jest jeden i dalej już nie możemy zejść.

Mniej więcej (po polsku relacja jest po prostu "ufundowana").

max123321 pisze: 19 maja 2025, o 01:29 d) To oczywiście fałsz, gdyż b) jest prawdą.

Nie byłbym taki pewny - to zależy, jak w tym zadaniu jest definiowany termin "porządek". Skoro osobno jest rozważany termin "częściowy porządek", to może termin "porządek" oznacza np. "liniowy porządek"?

JK

b) tak z definicji podzielności, pomyliło mi się.

Antysymetria, tak trzeba chyba dopowiedzieć, że jesteśmy w liczbach naturalnych plus i wtedy już to co napisałem jest prawdą. O to chodzi?

d) To nie wiem, może i masz rację, że chodzi o porządek liniowy. No to zakładając, że chodzi o porządek liniowy, to jest to prawda, bo nie wszystkie elementy są ze sobą porównywalne. W zasadzie to samo uzasadnienie co w a).

max123321 pisze: 20 maja 2025, o 14:20 Antysymetria, tak trzeba chyba dopowiedzieć, że jesteśmy w liczbach naturalnych plus i wtedy już to co napisałem jest prawdą. O to chodzi?

Tak.

max123321 pisze: 20 maja 2025, o 14:20 d) To nie wiem, może i masz rację, że chodzi o porządek liniowy. No to zakładając, że chodzi o porządek liniowy, to jest to prawda, bo nie wszystkie elementy są ze sobą porównywalne. W zasadzie to samo uzasadnienie co w a).

Tak, dlatego najlepiej znać definicję, do której odwołuje się zadanie.

JK