Matematyka.pl

Aha to fajnie. W sumie tak przypuszczalem, ale zaczalem miec watpliwosci gdy zaczeto wysuwac kolejne kontrprzyklady jakoby tak mialo byc. Dobrze ze ktos w koncu rozwial wszelkie watpliwosci (ja niestety na odpowiedz sie nie doczekalem , ale odpowiedz juz znam ).
Pozdrawiam

Jakkolwiek abstrakcyjna by ona nie była, odpowiedź uzyskana!

W pierwszym przypadku zbiór, podkreślam słówko zbiór, A traktowany jest jako taki, który nie zawiera w sobie nic, natomiast zbiór B ma w swoim wnętrzu "pustkę", która uznawana jest za element.

W przykładzie drugim podobnie, zamknięte w nawiasik i skreślone O trzeba policzyć jako element, tak więc zbiory nie są równe (czyli te pustawe zbiory traktuje się tak samo jak każde inne). Amen.

Powrót do góry

Czegoś nie rozumiem... więc czekam na więcej wyjaśnień / /

No bo ok - skoro A to zbiór, to istnieją dwie możliwości:

1) ma elementy
2) nie ma elementów

W przypadku 1) piszemy klamry i podajemy odpowiednie warunki go określające. W 2) mamy {pusty}.

Jaką z tych możliwości opisuje zbiór A?

No bo idźmy dalej do kolejnego mojego wygrubienia:

"nie zawiera w sobie nic" - znaczy, że coś zawiera, ale wiem, że nie o to Autorowi posta chodziło...

"ma w swoim wnętrzu "pustkę", która uznawana jest za element" - zatem B ma elementy, zatem nie jest pusty, a zatem nie ma on oznaczenia {pusty}.

Zatem coś nie gra - albo B ma elementy i wtedy jest w sposób oczywisty różny od "zbioru" A, albo B elementów nie ma, ale wówczas czym różni się od niego A?


Czekam na Wasze opinie na te tematy...

Pozdrawiam

W zasadzie to juz sam nie wiem bo o A nie mozemy powiedziec ze jest zbiorem.
Bo skoro B jest zbiorem, ktorego jedynym elementem jest zbior pusty i jednoczesnie B rozni sie od A (jesli tak rzeczywiscie jest, a ja w to wierze) to oczywiscie w tym przypadku A nie moze byc zbiorem. Jest takie twierdzenie (nie pamietam czyje), ktore glosi, ze kazdy zbior zawieraz zbior pusty, wiec i A nie moze nic nie zawierac, musialby zawierac zbior pusty, ale wtedy bylby rowny zbiorowi B.
No chyba ze to twierdzenie nie dotyczy zbioru pustego, a wtedy A moze byc zbiorem pustym (ktory sam w sobie nie zawiera zbioru pustego-to twierdznie nie dotyczy tego przypadku?) oraz B jest zbiorem jednoelementowym, ktorego elementem jest zbior pusty, wtedy rowniez A i B są rozne.

Zatem ktore rozumowanie jest prawidlowe?
Pozdrawiam

Arek pisze:"ma w swoim wnętrzu "pustkę", która uznawana jest za element" - zatem B ma elementy, zatem nie jest pusty, a zatem nie ma on oznaczenia {pusty}.

Zatem coś nie gra - albo B ma elementy i wtedy jest w sposób oczywisty różny od "zbioru" A, albo B elementów nie ma, ale wówczas czym różni się od niego A?

W przykladzie pierwszym gdzie:

A = O
B = { O }

zbior B ma element bedacy zbiorem pustym. Zbior A nie ma zadnego elementu.

A = C
B = { C }

gdzie A, B i C to zbiory. Wtedy A B

Pozdrawiam, GNicz

Dobrze wiec:
A to zbior pusty, a B to jednoelementowy zbior, ktorego elementem jest zbior pusty, zatem A nie jest rowne B. To mnie jakos przekonuje

kej.ef pisze:A to zbior pusty, a B to jednoelementowy zbior, ktorego elementem jest zbior pusty

Dokladnie tak. Na marginesie: zbior zbiorow nazywa sie rodzina zbiorow.

Pozdrawiam, GNicz

I tak co by to naszemu zadaniu stalo sie zadosc i aby wszelkie watpliwosci zostaly rozwiane pozwole sobie umiescic tu fragment odpowiedzi, ktora otrzymalem w formie maila od pewnego profesora UWr. (oczywiscie pozdrowienia dla Pana i wielkie dzieki za odpowiedz), specjalisty w tej dziedzinie:

"Po zapoznaniu sie z calym watkiem moglbym go podsumowac nastepujaco (choc w zasadzie do jakiegos konsensusu dyskutanci doszli...).

1. Cala dyskusja wziela sie glownie stad, ze wiekszosc dyskutantow
wyrazala sie niezbyt precyzyjnie. Np. nagminnie mylono pojecia
nalezenia i zawierania (co, nawiasem mowiac, jest dosc typowe dla
poczatkujacych studentow i jak najbardziej zrozumiale).

2. Odpowiedz na pytanie poczatkowe zostala w zasadzie udzielona.
W a) A to zbior pusty, czyli taki, ktory nie ma zadnych elementow
(brak elementow jest wlasnoscia, ktora go definiuje), a B to zbior
jednoelementowy, ktorego jedynym elementem jest zbior pusty, czyli singleton
zbioru pustego (mozna by w skrocie napisac B={A}). Poniewaz na mocy Zasady
Ekstensjonalnosci zbiory sa rowne, gdy maja takie same elementy,
to AB.
W b) jest podobnie. A jest zbiorem jednoelementowym (jw.), a B zbiorem
dwuelemetowym. Jego elementy to zbior pusty i singleton zbioru pustego.
I jak wyzej AB.

3. W dyskusji ujawnily sie pewne problemy wynikajace z tego, jak zapisuje sie zbior. Otoz, roznie, niekoniecznie musza wystapic klamry. Jednym ze sposobow (stosowanym do nieduzych zbiorow skonczonych) jest wyliczenie elementow i wtedy istotnie zapis wyglada np. tak:

A={element1, element2, element3}

Nic nie stoi na przeszkodzie, by element2 czy element3 tez byly zbiorami,
tak jak to jest w wyjsciowym przykladzie.
Ale sa tez inne sposoby, wiec pisanie, ze cos nie jest zbiorem, bo
nie ma {} jest pomylka.

4. Nalezenie a zawieranie.
Mowimy, ze x jest elementem zbioru A (x nalezy do A) jezeli wynika to
z opisu zbioru A. Opis ten, jesli jest poprawny, polega wlasnie na
opisaniu wszystkich elementow.
Mowimy, ze zbior A zawiera sie w zbiorze B (A jest podzbiorem B), jesli kazdy element zbioru A jest elementem zbioru B.

W zwiazku z tym np. zbior pusty ZAWIERA sie w kazdym zbiorze (nb. to jest fakt, ktory sie dowodzi, a nie wynik umowy, jak napisal jeden z dyskutantow), ale zdecydowanie nie jest prawda, ze NALEZY do kazdego zbioru.

Mysle, jak uwaznie przeczyta sie dyskusje biorac pod uwage to, co napisalem, to stanie sie jasne, skad wziely sie problemy."

No ja bardzo dziękuję.... Rzeczywiście jest w tym racja, dowodzi to tego, że w tak "delikatnych" dyskusjach powinniśmy bardziej uważać, co piszemy... Ale wyszło to. co chcieliśmy: AB. Brakowało nam tu istotnie tego pojęcia singletonu zbioru pustego...

Raz jeszcze bardzo dziękuję i również uważam dyskusję za zakończoną

Pozdrawiam