Tzn.:
Jeśli \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są rodzinami zbiorów, i \(\displaystyle{ x \neq \left\{ \right\}}\) oraz \(\displaystyle{ x \subset y }\), to: \(\displaystyle{ \bigcap x \supset \bigcap y;}\)
czyli przecięcie większej rodziny zbiorów (pod względem inkluzji) jest mniejsze, o ile mniejsza rodzina nie jest pusta, (bo dla \(\displaystyle{ x=\left\{ \right\}}\) , mamy, z definicji przekroju mnogościowego: \(\displaystyle{ \bigcap \left\{ \right\} \subset \bigcup \left\{ \right\} = \left\{ \right\}}\), a więc \(\displaystyle{ \bigcap \left\{ \right\} = \left\{ \right\}}\)).
Przypomnijmy najpierw, że jeśli \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest niepustą rodziną zbiorów, a \(\displaystyle{ S}\) jest dowolnym zbiorem będącym podzbiorem każdego zbioru tej rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\), to: \(\displaystyle{ S \subset \bigcap\mathbb{B}}\); - będziemy z tego faktu korzystać ( jest to znany, podstawowy fakt).
Przejdźmy do dowodu naszego faktu:
PIERWSZY DOWÓD TEGO FAKTU, NA PODSTAWIE WAŻNIAKA:
Wiemy, że zbiór \(\displaystyle{ \bigcap y}\) jest podzbiorem każdego zbioru rodziny \(\displaystyle{ y}\). Ponieważ \(\displaystyle{ x \subset y}\), więc również zbiór \(\displaystyle{ \bigcap y}\) jest podzbiorem każdego zbioru rodziny \(\displaystyle{ x}\). Ponieważ rodzina \(\displaystyle{ x}\) jest niepusta, więc stosując powyższy fakt do \(\displaystyle{ \mathbb{B}:= x, S:= \bigcap y}\), więc otrzymujemy: \(\displaystyle{ \bigcap y \subset \bigcap x}\), czego należało dowieść.\(\displaystyle{ \square}\)
DRUGI DOWÓD TEGO FAKTU, Z DEFINICJI:
Aby pokazać, że \(\displaystyle{ \bigcap y \subset \bigcap x}\), to niech \(\displaystyle{ a \in \bigcap y}\). Wtedy \(\displaystyle{ a \in b}\), dla każdego zbioru \(\displaystyle{ b \in y}\). Niech \(\displaystyle{ b \in x}\), wtedy ponieważ \(\displaystyle{ x \subset y}\), więc \(\displaystyle{ b \in y}\), a więc, na mocy powyższego warunku: \(\displaystyle{ a \in b}\). Otrzymujemy zatem, że \(\displaystyle{ a \in b}\), dla każdego zbioru \(\displaystyle{ b \in x}\), i ponieważ rodzina \(\displaystyle{ x}\) jest niepusta, więc \(\displaystyle{ a \in \bigcap x}\), i \(\displaystyle{ \bigcap y \subset \bigcap x.\square}\)
Wynika stąd, taki mocny fakt, że jeśli rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) ma w sobie dwa zbiory rozłączne \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), gdzie \(\displaystyle{ A,B \in \mathbb{B}}\), to: \(\displaystyle{ \bigcap \mathbb{B}= \left\{ \right\},}\) gdyż:
\(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq \left\{ A,B\right\} \subset \mathbb{B}}\),
a więc na mocy powyższego faktu:
\(\displaystyle{ \left\{ \right\} =A \cap B=\bigcap \left\{ A,B\right\} \supset \bigcap\mathbb{B}}\),
ponieważ zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są rozłączne, to ich przekrój jest pusty, więc również \(\displaystyle{ \bigcap\mathbb{B}= \left\{ \right\}.\square}\)
Mamy też formalny fakt, mówiący, że dla dowolnej liczby naturalnej von Neumanna \(\displaystyle{ n}\), mamy:
\(\displaystyle{ \bigcap n=\emptyset}\),
gdyż:
Jeśli \(\displaystyle{ n=\emptyset}\), to: \(\displaystyle{ \bigcap n= \bigcap \emptyset= \emptyset,}\)
a jeśli \(\displaystyle{ n \neq \emptyset}\), to ponieważ liczba naturalna von Neumanna jest zbiorem liczb naturalnych od niej mniejszych, więc: \(\displaystyle{ 0=\emptyset \in n}\), a stąd, z własności przekroju \(\displaystyle{ \bigcap n \subset \emptyset}\), a więc: \(\displaystyle{ \bigcap n=\emptyset.\square}\)
Mamy też fakt, mówiący, że dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ x,}\) mamy: \(\displaystyle{ x \cap \emptyset= \emptyset.}\)
MÓJ WŁASNY DOWÓD TEGO FAKTU:
Mamy:
\(\displaystyle{ x \cap \emptyset= \bigcap \left\{ x, \emptyset\right\},}\)
a przekrój rodziny zbiorów jest podzbiorem każdego zbioru tej rodziny, a u nas rodzina ma dwa (lub jeden, gdy są równe), elementy: \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ \emptyset}\), a więc w szczególności \(\displaystyle{ x \cap \emptyset \subset \emptyset}\), i ponieważ jedynym podzbiorem zbioru pustego jest on sam, więc również: \(\displaystyle{ x \cap \emptyset= \emptyset.\square}\)
Wykażemy teraz, że dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ X}\), mamy:
\(\displaystyle{ \bigcup P(X)= X;}\)
gdzie \(\displaystyle{ P(X)}\) oznacza zbiór potęgowy zbioru \(\displaystyle{ X}\), czyli zbiór jego wszystkich podzbiorów.
PROSTY DOWÓD TEGO FAKTU:
Z własności sumy, suma rodziny wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\), a więc w szczególności suma niektórych podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\) musi być podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ X}\)- z własności sumy, czyli: \(\displaystyle{ \bigcup P(X) \subset X.}\)
Z drugiej jednak strony, suma rodziny zbiorów jest nadzbiorem każdego zbioru tej rodziny, więc ponieważ \(\displaystyle{ X \subset X}\), więc \(\displaystyle{ X \in P(X)}\), a stąd \(\displaystyle{ \bigcup P(X)\supset X.\square}\)
Kolejny fakt:
Dla dowolnej rodziny zbiorów \(\displaystyle{ x}\), mamy: \(\displaystyle{ x \subset P\left( \bigcup x\right).}\)
PROSTY DOWÓD TEGO FAKTU:
Niech \(\displaystyle{ a \in x}\). Ponieważ, suma rodziny zbiorów jest nadzbiorem każdego zbioru tej rodziny, więc: \(\displaystyle{ \bigcup x\supset a}\), a stąd \(\displaystyle{ a \in P\left( \bigcup x\right).\square}\)
Wykażemy teraz, że dla rodziny zbiorów \(\displaystyle{ x}\) następujące warunki są równoważne:
\(\displaystyle{ \bigcup x \subset x \Longleftrightarrow x \subset P\left( x\right).}\)
Nieformalnie, ponieważ zbiór \(\displaystyle{ \bigcup x}\) składa się z elementów elementów \(\displaystyle{ x}\), to pierwszy warunek oznacza, że elementy elementów \(\displaystyle{ x}\) są elementami \(\displaystyle{ x}\) ( są to tzw. zbiory (rodziny zbiorów) przechodnie). A drugi warunek oznacza, że zbiory z rodziny \(\displaystyle{ x}\) są elementami zbioru potęgowego \(\displaystyle{ P\left( x\right)}\), a więc są podzbiorami zbioru \(\displaystyle{ x}\), a więc ich elementy są elementami \(\displaystyle{ x}\), czyli również elementy elementów \(\displaystyle{ x}\) są elementami zbioru \(\displaystyle{ x}\). Nie zastępuje to jednak dowodu.
Nim przejdziemy do dowodu tego faktu, przypomnijmy, że jeśli \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są rodzinami zbiorów, i \(\displaystyle{ x \subset y}\), to: \(\displaystyle{ \bigcup x \subset \bigcup y}\);
czyli suma większej rodziny zbiorów jest większa- jest to prosty fakt.
Mamy też wzorcowe zadanie ze "Wstępu do matematyki" mówiące, że jeśli \(\displaystyle{ x \subset y}\), to \(\displaystyle{ P\left( x\right) \subset P\left( y\right)}\);
czyli zbiór potęgowy zbioru większego (pod względem inkluzji) jest większy.
Możemy zatem łatwo udowodnić naszą równoważność:
Jeśli \(\displaystyle{ \bigcup x \subset x}\), to na mocy powyższego faktu:
\(\displaystyle{ P\left( \bigcup x\right) \subset P\left( x\right).}\)
Na mocy faktu odnośnie rodziny zbiorów otrzymujemy: \(\displaystyle{ x \subset P\left( \bigcup x\right)}\), i łącząc te dwa fakty, z przechodniości inkluzji, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x \subset P(x),}\)
co dowodzi implikacji w prawo.
Aby pokazać implikację w drugą stronę, załóżmy, że \(\displaystyle{ x \subset P\left( x\right).}\)
Wtedy, ponieważ suma większej rodziny zbiorów jest większa, więc:
\(\displaystyle{ \bigcup x \subset \bigcup P(x)= x}\),
co dowodzi implikacji w druga stronę.\(\displaystyle{ \square}\)
Wykażemy teraz, że dla dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y,}\) mamy:
\(\displaystyle{ \bigcap P\left( x \cap y\right) = \left( \bigcap P\left( x\right)\right) \cap \left( \bigcap P\left( y\right)\right) .}\)
Podajmy najpierw pewien Lemat:
Lemat: Dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ x}\), mamy: \(\displaystyle{ \bigcap P(x)= \left\{ \right\}}\),
gdyż, ponieważ zbiór pusty jest podzbiorem dowolnego zbioru, więc również: \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \subset x}\), a stąd \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \in P(x)}\), i z własności przekroju \(\displaystyle{ \bigcap P(x) \subset \left\{ \right\}}\), a więc: \(\displaystyle{ \bigcap P(x)= \left\{ \right\}.\square}\)
Możemy teraz łatwo udowodnić nasz fakt:
DOWÓD TEGO FAKTU:
Stosując powyższy Lemat do zbioru \(\displaystyle{ x \cap y}\), (jest to też zbiór, więc możemy zastosować do niego ten Lemat) i otrzymać, że lewa strona oznacza zbiór pusty. Stosując ten Lemat dwukrotnie do zbiorów kolejno \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) otrzymamy, że prawa strona oznacza zbiór: \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \cap \left\{ \right\} = \left\{ \right\}}\) , co dowodzi równości zbiorów.\(\displaystyle{ \square}\)
Wykażemy jeszcze, że żaden zbiór nie jest swoim własnym elementem, korzystając z aksjomatu regularności.
Przypomnijmy, aksjomat regularności mówi, że jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest niepustą rodziną zbiorów, to istnieje zbiór \(\displaystyle{ a \in x}\) rozłączny z rodziną \(\displaystyle{ x}\).
Wykażemy teraz, że dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ x}\), mamy: \(\displaystyle{ x\not \in x}\);
czyli żaden zbiór nie jest elementem swoim własnym.
Np.: \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \not \in \left\{ \right\}}\) (zbiór pusty nie ma żadnych elementów, więc w szczególności on sam nie jest jego elementem, może można by było to jeszcze tutaj rozwinąć, podając od ręki przykłady takich zbiorów zbudowanych na bazie zbioru pustego, ale... )- my wykażemy, że żaden zbiór nie jest swoim własnym elementem.
DOWÓD TEGO FAKTU:
Niech \(\displaystyle{ x}\) będzie zbiorem:
Przypuśćmy nie wprost, że \(\displaystyle{ x \in x}\). Na podstawie aksjomatu pary możemy utworzyć zbiór \(\displaystyle{ \left\{ x\right\}}\) - jest to niepusta (bo jednoelementowa) rodzina zbiorów, możemy zatem zastosować do niej aksjomat regularności, I otrzymać zbiór \(\displaystyle{ a \in \left\{ x\right\} }\), rozłączny ze zbiorem \(\displaystyle{ \left\{ x\right\}}\), a wtedy \(\displaystyle{ a \cap \left\{ x\right\} =\emptyset}\). Ale wtedy, ponieważ zbiór \(\displaystyle{ \left\{ x\right\}}\) ma tylko jeden element, więc: \(\displaystyle{ x \cap \left\{ x\right\} = \emptyset}\), ale ponieważ, na mocy założenia: \(\displaystyle{ x \in x}\), więc \(\displaystyle{ x \in x \cap \left\{ x\right\}}\), a więc jest to zbiór niepusty- sprzeczność.\(\displaystyle{ \square}\)
Wobec czego żaden zbiór nie jest swoim własnym elementem.
Wynika stąd, że nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów, bo gdyby istniał zbiór wszystkich zbiorów \(\displaystyle{ x}\), to on sam byłby również zbiorem, a ponieważ do \(\displaystyle{ x}\) należą wszystkie zbiory więc \(\displaystyle{ x \in x}\), co daje sprzeczność z poprzednim faktem.\(\displaystyle{ \square}\)
Mogę też podać zagadkę:
Jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem, to wyznacz:
\(\displaystyle{ X \cap \left\{ X\right\} =}\)
Polecam.
Albo inne ćwiczenie na aksjomat regularności :
Czy istnieje zbiór, taki, że każdy jego podzbiór jest jego elementem?
Gdyby istniał taki zbiór \(\displaystyle{ x}\), że każdy jego podzbiór byłby jego elementem, to ponieważ \(\displaystyle{ x \subset x}\), więc również cały zbiór \(\displaystyle{ x,}\) jako jego nieistotny ale jego formalny podzbiór, byłby jego elementem, a, jak wykazaliśmy powyżej, żaden zbiór nie jest elementem swoim własnym- sprzeczność. Wobec czego taki zbiór nie istnieje.
Wykażemy jeszcze, że jeśli \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są rodzinami zbiorów, to:
\(\displaystyle{ \bigcup \left( x \cup y\right) = \left( \bigcup x\right) \cup \left( \bigcup y\right);}\)
czyli suma takiej 'podwójnej' rodziny zbiorów \(\displaystyle{ \left( x \cup y\right) }\) jest równa sumie dwóch zbiorów: zbioru będącego sumą pierwszej rodziny i zbioru będącego sumą drugiej rodziny.
DOWÓD TEGO FAKTU:
Ponieważ suma większej rodziny zbiorów jest większa, a \(\displaystyle{ x,y \subset x \cup y}\), więc:
\(\displaystyle{ \bigcup \left( x \cup y\right) \supset \bigcup x, \bigcup y, }\)
więc również:
\(\displaystyle{ \left( \bigcup x\right) \cup \left( \bigcup y\right) \subset \bigcup \left( x \cup y\right).}\)
A jeśli \(\displaystyle{ a \in \left( x \cup y\right)}\), to jeśli \(\displaystyle{ a \in x}\), to z własności sumy \(\displaystyle{ a \subset \bigcup x \subset \left( \bigcup x\right) \cup \left( \bigcup y\right)}\); a jeśli \(\displaystyle{ a \in y}\), to podobnie \(\displaystyle{ a \subset \bigcup y \subset \left( \bigcup x\right) \cup \left( \bigcup y\right)}\).
Łącznie to oznacza, że każdy zbiór \(\displaystyle{ a \in \left( x \cup y\right)}\) zawiera się w zbiorze \(\displaystyle{ \left( \bigcup x \right) \cup \left( \bigcup y\right)}\) , więc również: \(\displaystyle{ \bigcup \left( x \cup y\right) \subset \left( \bigcup x\right) \cup \left( \bigcup y\right) .\square}\)
Podobna równość nie ma miejsca dla przekroju mnogościowego, tzn. istnieją rodziny zbiorów \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), takie, że:
\(\displaystyle{ }\)
\(\displaystyle{ \bigcap \left( x \cap y\right) \neq \left( \bigcap x\right) \cap \left( \bigcap y\right).}\)
Aby uzyskać kontrprzykład rozważmy dwa różne zbiory:
\(\displaystyle{ a= \left\{ 0,1\right\}; b= \left\{ 1,2\right\}}\) , oraz:
\(\displaystyle{ x= \left\{ a\right\} ; y= \left\{ b\right\} }\).
Wtedy:
\(\displaystyle{ \left( \bigcap x\right) \cap \left( \bigcap y\right) = \left( \bigcap \left\{ a\right\} \right) \cap \left( \bigcap \left\{ b\right\} \right) = a \cap b=\left\{ 1\right\},}\)
podczas gdy \(\displaystyle{ x \cap y}\) jest rodziną pustą, gdyż jedyny zbiór rodziny \(\displaystyle{ x}\) równy \(\displaystyle{ a}\) jest różny od jedynego zbioru rodziny \(\displaystyle{ y}\) równego \(\displaystyle{ b}\), a zatem \(\displaystyle{ x \cap y= \left\{ \right\}}\), a zatem:
\(\displaystyle{ \bigcap \left( x \cap y\right) = \bigcap \left\{ \right\} = \left\{ \right\} \neq \left\{ 1\right\} = \left( \bigcap x\right) \cap \left( \bigcap y\right).\square}\)
(Mamy tu przykład zastosowania przekroju pustej rodziny).
I na koniec podam zagadkę:
Czy istnieje więcej niż jedna rodzina zbiorów \(\displaystyle{ x}\) (rozróżniamy rodziny zbiorów, tak jak zbiory), taka, że:
\(\displaystyle{ \bigcap x= \bigcup x}\)??
Wskazówka:
Dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ a}\), mamy:
\(\displaystyle{ \bigcap \left\{ a\right\}=a= \bigcup \left\{ a\right\} .}\)
Lubię niepopularną matematykę!
