Matematyka.pl

Dane są rożne liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a_1,..., a_n}\). Niech \(\displaystyle{ J}\) będzie zbiorem wszystkich przedziałów \(\displaystyle{ (a_j, a_j +1)}\). Udowodnić, że istnieją rozłączne podzbiory \(\displaystyle{ \mathcal{A}, \mathcal{B}}\) zbioru \(\displaystyle{ J}\):
i) każde dwa podzbiory z \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) (jak i z \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\)) są rozłączne
ii) suma (mnogościowa) wszystkich przedzialów z \(\displaystyle{ \mathcal{A} \cup \mathcal{B}}\) jest równa sumie (mnogościowej) wszystkich przedzialów z \(\displaystyle{ J}\).

Chcę najpierw zrozumieć treść tego zadania:

mol_ksiazkowy pisze: ↑16 paź 2023, o 00:05 Dane są rożne liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a_1,..., a_n}\). Niech \(\displaystyle{ J}\) będzie zbiorem wszystkich przedziałów \(\displaystyle{ (a_j, a_j +1)}\)

Czy chodzi tu o wszystkie przedziały otwarte na prostej o długości jeden, czy może \(\displaystyle{ a _{j} }\) oznacza jedną z liczb \(\displaystyle{ a _{1}, a _{2}, \ldots, a _{n} }\) Jeśli to drugie, to mnie taka specjalistyczna matematyka nie bawi, bo ja jestem miłośnik zbiorów ogólnych.
I jeszcze jedno:

Udowodnić, że istnieją rozłączne podzbiory \(\displaystyle{ \mathcal{A}, \mathcal{B}}\) zbioru \(\displaystyle{ J}\):
i) każde dwa podzbiory z \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) (jak i z \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\)) są rozłączne

Chodzi tu zapewne o każde dwa różne zbiory, bo dowolny niepusty zbiór \(\displaystyle{ A}\) nie jest rozłączny z samym sobą.

Jakub Gurak pisze: ↑16 paź 2023, o 19:09 Chcę najpierw zrozumieć treść tego zadania:

mol_ksiazkowy pisze: ↑16 paź 2023, o 00:05 Dane są rożne liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a_1,..., a_n}\). Niech \(\displaystyle{ J}\) będzie zbiorem wszystkich przedziałów \(\displaystyle{ (a_j, a_j +1)}\)

Czy chodzi tu o wszystkie przedziały otwarte na prostej o długości jeden, czy może \(\displaystyle{ a _{j} }\) oznacza jedną z liczb \(\displaystyle{ a _{1}, a _{2}, \ldots, a _{n} }\)

W oczywisty sposób to drugie.

Jakub Gurak pisze: ↑16 paź 2023, o 19:09 I jeszcze jedno:

Udowodnić, że istnieją rozłączne podzbiory \(\displaystyle{ \mathcal{A}, \mathcal{B}}\) zbioru \(\displaystyle{ J}\):
i) każde dwa podzbiory z \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) (jak i z \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\)) są rozłączne

Chodzi tu zapewne o każde dwa różne zbiory, bo dowolny niepusty zbiór \(\displaystyle{ A}\) nie jest rozłączny z samym sobą.

Czy Ty nie jesteś w stanie zrozumieć, że jak są dwa zbiory, to są różne, bo są dwa?

JK