Matematyka.pl

Witam. Nie radzę sobie z obrazami i przeciwobrazami funkcji - nie rozumiem, na jakiej zasadzie mógłbym wyznaczyć je algebraicznie. Z tegoż powodu piszę tutaj - jest ktoś w stanie odesłać mnie do ciekawego poradnika/książki, gdzie ładnie i przejrzyście jest ten temat wytłumaczony?

A mój problem zaczął się od dosyć trywialnego przykładu - niech będzie \(\displaystyle{ f: \RR \rightarrow \RR}\) określone wzorem \(\displaystyle{ f \left( x \right) = \sin x + 1}\).
Wyznaczyć obraz \(\displaystyle{ f* \left[ 0; 3 \frac{\pi}{2} \right]}\) oraz trzy przeciwobrazy \(\displaystyle{ f^{-1} * \left( \frac12 ; \infty \right) , \left( - \infty ; 1 \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left\{ 0\right\}}\) .
Szczerze mówiąc nie wiem, za co się tutaj zabrać. Mógłbym prosić o jakieś wskazówki, porady?

spectral pisze:Nie radzę sobie z obrazami i przeciwobrazami funkcji - nie rozumiem, na jakiej zasadzie mógłbym wyznaczyć je algebraicznie.

Z definicji obrazu/przeciwobrazu.

spectral pisze:niech będzie \(\displaystyle{ f: \RR \rightarrow \RR}\) określone wzorem \(\displaystyle{ f \left( x \right) = \sin x + 1}\).
Wyznaczyć obraz \(\displaystyle{ f* \left[ 0; 3 \frac{\pi}{2} \right]}\)

Zgodnie z definicją (będę jednak używał bardziej współczesnej notacji na obraz/przecowiobraz) masz

\(\displaystyle{ f\left[ \left[ 0; 3 \frac{\pi}{2}\right] \right] =\left\{ f(x): x\in\left[ 0; 3 \frac{\pi}{2}\right]\right\}= \left\{\sin x + 1: x\in\left[ 0; 3 \frac{\pi}{2}\right]\right\}}\)

Skoro sinus na przedziale \(\displaystyle{ \left[ 0; 3 \frac{\pi}{2}\right]}\) przyjmuje jako wartości wszystkie liczby z przedziału \(\displaystyle{ [-1,1]}\), to

\(\displaystyle{ f\left[ \left[ 0; 3 \frac{\pi}{2}\right] \right] =[0,2]}\).

spectral pisze:oraz trzy przeciwobrazy \(\displaystyle{ f^{-1} * \left( \frac12 ; \infty \right) , \left( - \infty ; 1 \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left\{ 0\right\}}\) .
Szczerze mówiąc nie wiem, za co się tutaj zabrać. Mógłbym prosić o jakieś wskazówki, porady?

Zgodnie z definicją masz

\(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \left( \frac12 ; \infty \right) \right] =\left\{ x\in\RR: f(x)\in\left( \frac12 ; \infty \right) \right\}= \left\{ x\in\RR: f(x)> \frac12 \right\}=\left\{ x\in\RR: \sin x+1>\frac12 \right\}=\\=\left\{ x\in\RR: \sin x>-\frac12 \right\}}\)

zatem zadanie sprowadza się do rozwiązania prostej nierówności trygonometrycznej. Pozostałe dwa przykłady robi się podobnie.

JK

Dziękuję Panu za odpowiedź, jednak mam w głowie jeszcze jedną niejasność:

Jan Kraszewski pisze:Skoro sinus na przedziale \(\displaystyle{ \left[ 0; 3 \frac{\pi}{2}\right]}\) przyjmuje jako wartości wszystkie liczby z przedziału \(\displaystyle{ [-1,1]}\)

To dosyć nieformalne i możliwe, że nieco źle zadane pytanie, ale - czy ten przedział od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{2}}\) w obrazie funkcji traktować jako przedział na zbiorze \(\displaystyle{ X}\)? Jeśli tak, to czy wobec tego inne przedziały do wyznaczania przeciwobrazu (chociażby takie, jakie podałem w moim pierwszym poście) traktować jako przedziały ze zbioru \(\displaystyle{ Y}\)?
Innymi słowy - znajdowanie obrazu funkcji dla konkretnego przedziału/zbioru to znajdowanie wartości ze zbioru \(\displaystyle{ Y}\), które się w tym przedziale znajdują, a przeciwobrazu - znajdowanie argumentów \(\displaystyle{ X}\)? Czy może jednak się mylę i nie do końca to zrozumiałem

spectral pisze:To dosyć nieformalne i możliwe, że nieco źle zadane pytanie, ale - czy ten przedział od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{2}}\) w obrazie funkcji traktować jako przedział na zbiorze \(\displaystyle{ X}\)? Jeśli tak, to czy wobec tego inne przedziały do wyznaczania przeciwobrazu (chociażby takie, jakie podałem w moim pierwszym poście) traktować jako przedziały ze zbioru \(\displaystyle{ Y}\)?
Innymi słowy - znajdowanie obrazu funkcji dla konkretnego przedziału/zbioru to znajdowanie wartości ze zbioru \(\displaystyle{ Y}\), które się w tym przedziale znajdują, a przeciwobrazu - znajdowanie argumentów \(\displaystyle{ X}\)?

Tak! Bardzo dobrze zrozumiałeś - dokładnie o to chodzi. Wynika to wprost z definicji obrazu/przeciwobrazu i powinno być jedną z pierwszych rzeczy, o których mówi się przy wprowadzaniu tych pojęć.

JK