Matematyka.pl

Zastanawia mnie, jak formalnie wprowadza się do matematyki pojęcie \(\displaystyle{ n}\)-ki uporządkowanej, gdzie \(\displaystyle{ n \in \NN, n \ge 2}\). Obawiam się, że może to rodzić problemy.

No bo czy definicja rekurencyjna:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \left( a_1, a_2\right)= \left\{ \left\{ a_1\right\} ; \left\{ a_1, a_2\right\} \right\}; \\ \left( a_1, a_2, \ldots, a_n, a _{n+1} \right) = \left( \ \left( a_1, a_2, \ldots, a_n\right); a_{n+1} \right); \end{cases}}\)

ma być określona na klasie wszystkich elementów (która nie jest zbiorem), i to jeszcze dla dowolnych skończonych ciągów jej elementów??

Wyjściem z sytuacji, może być ustalenie najpierw dowolnego zbioru, rozważenie rodziny wszystkich ciągów skończonych elementów tego danego zbioru, i utożsamienie \(\displaystyle{ n}\)- ek uporządkowanych, gdzie \(\displaystyle{ n \in \NN, n \ge 2}\) z takimi ciągami \(\displaystyle{ n}\)- wyrazowymi . Ale nie pasuje mi tutaj na przykład to, że para uporządkowana często składa się ze współrzędnych z 'zupełnie innych bajek', więc coś mi nie pasuje aby wszystkie te współrzędne tych krotek były w jednym zbiorze. Jak formalnie wprowadza się do matematyki te krotki

Czy może na piechotę, dla trzech elementów \(\displaystyle{ a_1, a_2, a_3}\) definiujemy trójkę:

\(\displaystyle{ \left( a_1, a_2, a_3\right) = \left( \left( a_1, a_2\right), a_3 \right) ;}\)

mając takie trójki, definiujemy czwórki:

\(\displaystyle{ \left( a_1, a_2,a_3, a_4 \right) = \left( \left( a_1, a_2, a_3\right); a_4 \right);}\)

potem piątki, itd.
Rozumiem, że w praktyce nie spotyka się potrzeby zdefiniowania \(\displaystyle{ 10 ^{1000}}\)-krotki??
Jak to rozwiązuje się formalnie

Jakub Gurak pisze: ↑6 sie 2023, o 20:54 Rozumiem, że w praktyce nie spotyka się potrzeby zdefiniowania \(\displaystyle{ 10 ^{1000}}\)-krotki??

W praktyce nikt ich nie definiuje, tylko używa.

\(\displaystyle{ n}\)-ka uporządkowana charakteryzowana jest przez własność

\(\displaystyle{ (a_1,...a_n)=(b_1,...,b_n)\iff a_1=b_1\land...\land a_n=b_n}\)

i to zupełnie wystarcza. Nikomu (poza teoriomnogościowcami) nie jest potrzebna formalna definicja, wystarczy wiedzieć, że da się to zrobić.

JK

A dla teoriomnogościowców, to podejrzewam, że patrzy się na to tak, jak na dowolny zbiór skończony: jasne, że można utworzyć dowolny zbiór skończony dwuelementowy \(\displaystyle{ \left\{ a,b\right\}}\) , a zatem można utworzyć dowolny zbiór trójelementowy: \(\displaystyle{ \left\{ a,b, c\right\}= \left\{ a,b\right\} \cup \left\{ c\right\}}\), itd. I, jak chcemy utworzyć mały zbiór skończony, to doliczymy się na palcach w powyższy sposób, a jak chcemy mieć dowolne podzbiory skończone danego zbioru, to też możemy ze zbioru potęgowego tego zbioru wybrać wszystkie podzbiory skończone. I tutaj, z tymi krotkami, jest chyba podobnie, tak

Też kiedyś miałem wątpliwości co do formalnej definicji potęgi kartezjańskiej \(\displaystyle{ A^n}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ n\in\NN}\), co jest podobnym problemem.

Problem rozwiązałem (chyba poprawnie) z użyciem aksjomatu zastępowania tutaj:
zbiory-teoria-mnogosci-f56/definiowanie ... l#p5253443

Wtedy można powiedzieć na przykład, że zbiór \(\displaystyle{ z}\) jest z definicji \(\displaystyle{ n}\)-krotką, gdy istnieje zbiór \(\displaystyle{ A}\) taki, że \(\displaystyle{ z\in A^n}\).