Niech funkcja \(\displaystyle{ \phi : P(\NN) ^{\NN} \rightarrow P(\NN \times \NN)}\) będzie określona następująco:
\(\displaystyle{ \phi (f) = \left\{ \left\langle x, y\right\rangle \in \NN \times \NN | x \in f(y) \vee y \in f(x) \right\} }\).
a) Czy funkcja \(\displaystyle{ \phi}\) jest 1-1?
b) Czy funkcja \(\displaystyle{ \phi}\) jest na?
c) Znaleźć \(\displaystyle{ \phi ^{-1}(A) }\), gdzie \(\displaystyle{ A = \left\{ R \in \NN \times \NN | R = R ^{-1} \right\} }\)
d) Znaleźć \(\displaystyle{ \phi(\left\{ f : \NN \rightarrow P(\NN) | (\forall x \in \NN x \in f(x))\right\} )}\), gdzie \(\displaystyle{ f(\NN)}\) jest podziałem zbioru \(\displaystyle{ \NN}\).
e) Dla \(\displaystyle{ f, g : \NN \rightarrow P(\NN)}\) niech \(\displaystyle{ f \cap g = \lambda n. f(n) \cap f(n).}\) Czy \(\displaystyle{ \phi (f \cap g) = \phi (f) \cap \phi (g)}\)?
f) Podać przykład takiej funkcji \(\displaystyle{ f : \NN \rightarrow P(\NN)}\), że zbiór \(\displaystyle{ f(n)}\) jest skończony dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) oraz \(\displaystyle{ \phi (f) = \NN \times \NN}\).
Funkcje
-
- Administrator
- Posty: 34393
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5216 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 44
- Rejestracja: 23 lis 2023, o 20:34
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 69
- Lokalizacja: kozia wulka
- Podziękował: 18 razy
Re: Funkcje
Wydaje mi się, że funkcja \(\displaystyle{ \phi}\) działa tak, że bierze pewną funkcję f, która bierze jakąś liczbę naturalną n i przyporządkowuje jej podzbiór zbioru licz naturalnych A. Teraz funkcja \(\displaystyle{ \phi}\) zwraca wszystkei takie pary \(\displaystyle{ \left\langle n, A\right\rangle \wedge \left\langle A, n\right\rangle }\) , gdzie \(\displaystyle{ \left\langle n, A\right\rangle }\) to zbiór par n ze wszystkimi elementami A. Wtedy funkcja nie jest 1-1, bo jeśli np \(\displaystyle{ f(x) = \left\{ b\right\} }\) oraz \(\displaystyle{ f(b) = \left\{ x\right\} }\) to funkcje te przyjmą te same wartości. Wydaje mi się też, że funkcja jest na, ale nie mam jeszcze pomysłu jak to dowieść. Czy tok rozumowania przy 1-1 ma w ogóle sens?
-
- Administrator
- Posty: 34393
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5216 razy
Re: Funkcje
No nie bardzo. Ta funkcja ciągom zbiorów liczb naturalnych przypisuje zbiory par liczb naturalnych.
Ten zapis wygląda bardzo niedobrze, bo twierdzisz, że znaczy zupełnie co innego, niż normalnie oznacza taki zapis.
Jeżeli uważasz, że ta funkcja nie jest 1-1, to wskaż dwa konkretne ciągi zbiorów, które dają tę samą wartość. Bez tego nie ma uzasadnienia.
Ja przy takim zadaniu zaczynam od policzenia kilku konkretnych wartości dla prostych argumentów. To mi daje pewne wyobrażenie na temat tego, czego szukam.
Zauważ, że wartości funkcji \(\displaystyle{ \phi}\) są podzbiorami \(\displaystyle{ \NN^2}\) symetrycznymi względem przekątnej. O czym to świadczy?
JK