Matematyka.pl

Wiem, że:

Jeśli istnieje bijekcja\(\displaystyle{ f:A \rightarrow B}\) to zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są równoliczne

Pytanie:

Czy jeśli zbiory są tej samej mocy to istnieje bijekcja?

Cel:

Chcę udowodnić, że istnieje odwzorowanie bazy Hamela przestrzeni \(\displaystyle{ (\RR,(\QQ,+,\cdot)) - H}\) (czyli nieprzeliczalnej) w zbiór liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ \RR}\)

Jest równoważne, choć wydaje mi się, że jest potrzebne zabezpieczenie mówiące o niepustości zbiorów \(\displaystyle{ A, B}\).

Edit : jednak to zabezpieczenie jest zbędne.

Dzięki, a masz jakieś źródło z twierdzniem i dowodem?

Pytanie nie ma sensu. Równoliczność jest definiowana tą własnością.

I chyba się chce pokazać, że nieskończona baza Hamela jest nieprzeliczalna.

Nie, ja zakładam, że baza Hamela \(\displaystyle{ H}\) jest nieprzeliczalna (mocy continuum), chcę pokazać że istnieje bijekcja (a co najmniej funkcja dla której \(\displaystyle{ f(H) = \mathbb{R}}\)).

Z definicji wiemy tylko, że 2 zbiory są równoliczne JEŚLI istnieje między nimi bijekcja, to implikacja w jedną stronę. No i mnie właśnie interesuje co z implikacją w drugą stronę (czyli czy można napisać, że dwa zbiory są tej samej mocy \(\displaystyle{ \iff}\) istnieje bijekcja pomiędzy nimi)

Tak to się właśnie definiuje, z równoważnością.

Twoje pytanie nie ma sensu.

Definiuję dziecko jako osobę która ma mniej niż 15 lat.

Twoje pytanie: dane jest dziecko, czy ma ono mniej niż 15 lat?

cinrex pisze:Z definicji wiemy tylko, że 2 zbiory są równoliczne JEŚLI istnieje między nimi bijekcja, to implikacja w jedną stronę. No i mnie właśnie interesuje co z implikacją w drugą stronę (czyli czy można napisać, że dwa zbiory są tej samej mocy \(\displaystyle{ \iff}\) istnieje bijekcja pomiędzy nimi)

Najwyraźniej nie odróżniasz definicji od twierdzenia. Mówienie o implikacji w definicji nie ma sensu. O równoważności w zasadzie też nie. Definicja pojęcia równoliczności polega nie na tym, że równoliczność jest równoważna istnieniu bijekcji. Równoliczność oznacza po prostu istnienie bijekcji. O równoważności możesz mówić wtedy, gdy masz już dobrze zdefiniowane dwie własności i wtedy możesz badać, czy te własności są równoważne.

JK

W tym przypadku moje pytanie brzmiałoby

jeśli osoba ma mniej niż 15 lat to jest dzieckiem?

Natomiast dziękuję rozwiązałem już swój błąd.

Mój błąd polegał na tym:
definicja jaką znam: " zbiory A i B są równoliczne, gdy istnieje pomiędzy nimi bijekcja",
moje chwilowe rozumowanie: mam dwie osoby a i b i definiuję:
osoba a i b ma takie same umiejętności gdy wykonują rzeczy z takim samym skutkiem, i pytałem czy jeśli osoba a i b wykonują rzeczy z takim samym skutkiem to mają takie same umiejętności.

Po prostu chwilowo zawiesił mi się umysł, dziękuję Althorion, za krótką i zwięzłą odpowiedź i Zordonowi, za uświadomienie sobie błędu w rozumowaniu.

Rzeczywiście coś w tym jest, że nie rozróżniałem twierdzenia od definicji

Krótko:
Definicja równoliczności: \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) równoliczne \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) istnieje bijekcja \(\displaystyle{ f:A \rightarrow B}\)

cinrex pisze:Krótko:
Definicja równoliczności: \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) równoliczne \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) istnieje bijekcja \(\displaystyle{ f:A \rightarrow B}\)

Mnie ta równoważność nie pasuje, dużo bardziej odpowiada mi wersja:

Mówimy, że

cinrex pisze:zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są równoliczne, gdy istnieje pomiędzy nimi bijekcja.

JK