Matematyka.pl

Jeśli \(\displaystyle{ A=\left\{ \emptyset\right\},B=\left\{ \emptyset,A\right\} }\), to czy wówczas prawdą jest, że
a)\(\displaystyle{ A \subseteq B}\)
b) \(\displaystyle{ A \in B}\)
c) \(\displaystyle{ B \setminus A=A}\)
d) \(\displaystyle{ |P(A \times B)|=6}\).

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
a) Tak, bo jedynym elementem zbioru A jest zbiór pusty i zbiór pusty należy też do zbioru B.
b) Tak, bo jednym z elementów zbioru B jest A.
c) Nie gdyż w tym przypadku \(\displaystyle{ B\setminus A= \left\{ A\right\} }\).
d) Nie gdyż \(\displaystyle{ |P(A \times B)|=|\left\{ (\emptyset,\emptyset),(\emptyset,\left\{ \emptyset\right\}) \right\}|=2 }\),

Dobrze?

max123321 pisze: 23 mar 2025, o 23:03Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
a) Tak, bo jedynym elementem zbioru A jest zbiór pusty i zbiór pusty należy też do zbioru B.
b) Tak, bo jednym z elementów zbioru B jest A.
c) Nie gdyż w tym przypadku \(\displaystyle{ B\setminus A= \left\{ A\right\} }\).

Dobrze.

max123321 pisze: 23 mar 2025, o 23:03d) Nie gdyż \(\displaystyle{ |P(A \times B)|=|\left\{ (\emptyset,\emptyset),(\emptyset,\left\{ \emptyset\right\}) \right\}|=2 }\),

Źle, przecież \(\displaystyle{ \left\{ (\emptyset,\emptyset),(\emptyset,\left\{ \emptyset\right\}) \right\}=A \times B\ne P(A \times B).}\)

JK

Faktycznie tam pomieszałem zbiór ze zbiorem podzbiorów.

Poprawka:
\(\displaystyle{ |P(A \times B)|=|\left\{\emptyset, (\emptyset,\emptyset),(\emptyset,\left\{ \emptyset\right\}),\left\{(\emptyset,\emptyset),(\emptyset,\left\{ \emptyset\right\}) \right\} \right\}|=4}\).

Zatem w d) nie jest to prawda.

Teraz dobrze?

max123321 pisze: 24 mar 2025, o 11:37Poprawka:
\(\displaystyle{ |P(A \times B)|=|\left\{\emptyset, (\emptyset,\emptyset),(\emptyset,\left\{ \emptyset\right\}),\left\{(\emptyset,\emptyset),(\emptyset,\left\{ \emptyset\right\}) \right\} \right\}|=4}\).

Zatem w d) nie jest to prawda.

Ten zbiór potęgowy istotnie ma cztery elementy, więc odpowiedź jest poprawna, natomiast nie jest prawdą, że

\(\displaystyle{ P(A \times B)=\left\{\emptyset, (\emptyset,\emptyset),(\emptyset,\left\{ \emptyset\right\}),\left\{(\emptyset,\emptyset),(\emptyset,\left\{ \emptyset\right\}) \right\} \right\},}\)

zbiór potęgowy jest źle wyznaczony - za bardzo oszczędzałeś na klamerkach.

JK

No dobra to jeszcze raz:
\(\displaystyle{ P(A \times B)=\left\{ \emptyset,\left\{ (\emptyset,\emptyset)\right\},\left\{ (\emptyset,\left\{\emptyset \right\} )\right\},\left\{ (\emptyset,\emptyset),(\emptyset,\left\{ \emptyset\right\} )\right\} \right\} }\).

Dobrze?

Tak.

JK