Matematyka.pl

Witam, czy ktoś mógłby mi pomóc w skonstruowaniu bijekcji pomiędzy zbiorami \(\displaystyle{ \left( 0,1\right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left( 0,1\right) ^{2}}\)?

Nom. A może być w drugą stronę? Weźmy parę liczb z \(\displaystyle{ \left( 0,1\right) ^2}\), np. \(\displaystyle{ (0,682, \quad 0,971)}\). Masz pomysł jak przypisać tej parze jedną liczbę z przedziału \(\displaystyle{ (0,1)}\)? A co, jeśli w tej parze liczb jedna będzie miała więcej cyfr od drugiej?

Każda liczba rzeczywista z odcinka \(\displaystyle{ (0,1)}\) ma dokładnie jedno rozwinięcie dziesiętne nieskończone. Jeśli to jest liczba wymierna, to np. \(\displaystyle{ 0,4560000\ldots = 0,4559999\ldots}\). Dlatego dla każdej liczby z tego odcinka takie rozwinięcie istnieje.

Spróbuj dalej sam to zrobić - od tego miejsca, to już raczej łatwe.

Pozdro ziooom

PS Jednak radzę konstruować funkcję \(\displaystyle{ (0,1)\to (0,1)^2}\)

jutrvy pisze:Każda liczba rzeczywista z odcinka \(\displaystyle{ (0,1)}\) ma dokładnie jedno rozwinięcie dziesiętne nieskończone. Jeśli to jest liczba wymierna, to np. \(\displaystyle{ 0,4560000\ldots = 0,4559999\ldots}\). Dlatego dla każdej liczby z tego odcinka takie rozwinięcie istnieje.

Spróbuj dalej sam to zrobić - od tego miejsca, to już raczej łatwe.

Moim zdaniem cała trudność w tym podejściu "w tym miejscu" się zaczyna.

teraz już chyba wyczaiłem chodzi o to że można przejść z iloczynu kartezjańskiego na normalny przedział poprzez np. dopisanie do rozwinięcia pierwszej liczby rozwinięcie drugiej?

W ten sposób nie można, bo w przypadku liczb niewymiernych wypisujesz najpierw nieskończoność cyfr, a potem kolejne i nie wiadomo na którym miejscu stoją te "kolejne". To nie działa, ale prawie o to chodzi.

a na przykład wypisując naprzemiennie jedną cyfrę z rozwinięcia pierwszej i jedną z rozwinięcia drugiej?

Dokładnie o to chodzi A jak mają różne długości rozwinięć, np. \(\displaystyle{ 0,5231}\) i \(\displaystyle{ 0,77932162931761239321}\)?

to można dać warunek że naprzemienne wypisywanie następuje do ostatniej cyfry rozwinięcia "mniejszej" liczby, ewentualnie zostawić z przewijającymi się póżniej zerami. Tak czy siak dzięki wielkie za poświęcony czas sporo mi to rozjaśniło .

matt950806 pisze:to można dać warunek że naprzemienne wypisywanie następuje do ostatniej cyfry rozwinięcia "mniejszej" liczby

Nie można Wtedy ta funkcja przekształcałaby pary \(\displaystyle{ (0,1, \quad 0,222}\)) i \(\displaystyle{ (0,12, \quad 0,22)}\) na tę samą liczbę, więc nie byłoby różnowartościowości! Trzeba uważać na takie rzeczy

matt950806 pisze:zostawić z przewijającymi się póżniej zerami

A z kolei ten sposób działa

Proszę bardzo

musialmi pisze:

matt950806 pisze:zostawić z przewijającymi się póżniej zerami

A z kolei ten sposób działa

Nie.

Co przechodzi np. na liczbę \(\displaystyle{ 0.(29)}\)?

Nic Chyba pozostaje mi zaproponować wykonanie złożenia \(\displaystyle{ (0,1)^2 \to (0,1\rangle \to (0,1)}\).

Naed Nitram pisze:

musialmi pisze:

matt950806 pisze:zostawić z przewijającymi się póżniej zerami

A z kolei ten sposób działa

Nie.

Co przechodzi np. na liczbę \(\displaystyle{ 0.(29)}\)?

A \(\displaystyle{ 0.(2)}\) i \(\displaystyle{ 0.(9)}\) ?

\(\displaystyle{ 0,(9)}\) nie należy do \(\displaystyle{ (0,1)}\). A na \(\displaystyle{ 0,(2)}\) przechodzi \(\displaystyle{ (0,(2), \quad 0,(2))}\).

Cantor zdaje się jakoś tak ominął problem niejednoznaczności rozwinięć:

\(\displaystyle{ (0,1)\to\mathbb R\to\mathbb R\setminus\mathbb Q\to\mathbb R^2\to (0,1)^2}\).

Kolejno te bijekcje to:

\(\displaystyle{ x\mapsto \ctg \pi x=y\mapsto z= \begin{cases} a+(b+1)\sqrt 2\;\;\mathrm{gdy}\;\;y=a+b\sqrt 2, a\in\mathbb Q, b\in\mathbb N \\ y\;\;\mathrm{w.p.p.} \end{cases}}\)

Następna bijekcja polega na zapisaniu z w postaci ułamka łańcuchowego i przyporządkowaniu jemu pary ułamków łańcuchowych z użyciem liczb stojących na parzystych/nieparzystych miejscach (tu mamy jednoznaczność).

Ostatnia bijekcja parze \(\displaystyle{ (u,v)\in\mathbb R^2}\) przyporząkowuje parę \(\displaystyle{ \left(\frac 1{\pi}\arcctg x,\frac 1{\pi}\arcctg y\right)}\).