Matematyka.pl

Cześć koledzy i koleżanki! Mam problem z rozwiązaniem zadania, mianowicie:

Pierwszego roku rolnikowi wyrosły 3 machewki, w kolejnym roku o 1 więcej niż w roku poprzednim, za dwa lata również o 1 więcej niż w poprzednim itd.

W każdym roku rolnik zbierał marchewki i je magazynował (pomijając datę ważności warzyw), tj. pierwszego roku zebrał 3 sztuki, w drugim 7 bo I: 3 +II: 3+1, w następnym 12 bo 1 roku I: 3, roku II: 3+1, roku III: 4+1

Ile marchewek zebrał po X lat?

Próbowałem ustalić wzór na określenie ilości marchewek w dowolnym roku ale nie potrafię go znaleźć, proszę o pomoc.

Ilość zebranych marchewek w roku \(\displaystyle{ n}\) opisuje pewien ciąg arytmetyczny.
Jeśli w roku \(\displaystyle{ n}\) zebrano \(\displaystyle{ a_n}\) marchewek, to w roku \(\displaystyle{ (n-1)}\) zebrano \(\displaystyle{ a_{n-1}}\). Teraz z treści zadania wynika, że \(\displaystyle{ a_n = a_{n-1} + 1}\), prawda? Do tego trzeba dorzucić informację, że \(\displaystyle{ a_1 = 3}\). Teraz ze wzoru ogólnego można wyliczyć, że
\(\displaystyle{ a_2 = a_1 + 1 = 3 + 1 = 4\\
a_3 = a_2 + 1 = 4 + 1 = 5\\
a_4 = 6}\)
i tak dalej.
Jest to, jak wspomniałem, ciąg arytmetyczny o różnicy równej \(\displaystyle{ 1}\). Teraz możesz skorzystać ze wzoru na sumę \(\displaystyle{ n}\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. Więcej o tym możesz poczytać

Zauważ zależność:
W 1. roku wyrosło marchewek: \(\displaystyle{ 3 = 3 + ({\red{1}} - 1)}\)
W 2. roku wyrosło marchewek: \(\displaystyle{ 3 + 1 = 3 + ({\red{2}} - 1)}\)
W 3. roku wyrosło marchewek: \(\displaystyle{ 3 + 1 + 1 = 3 + 2 = 3 + ({\red{3}} - 1)}\)
W 4. roku wyrosło marchewek: \(\displaystyle{ 3 + 1 + 1 + 1 = 3 + 3 = 3 + ({\red{4}} - 1)}\)
. . .
W n-tym roku wyrosło marchewek: \(\displaystyle{ 3 + ({\red{n}} - 1)}\)

Jednocześnie:
W 1. roku wyrosło marchewek: \(\displaystyle{ 3 + ({\red{1}} - 1) = 2 + {\red{1}}}\)
W 2. roku wyrosło marchewek: \(\displaystyle{ 3 + ({\red{2}} - 1) = 2 + {\red{2}}}\)
W 3. roku wyrosło marchewek: \(\displaystyle{ 3 + ({\red{3}} - 1) = 2 + {\red{3}}}\)
W 4. roku wyrosło marchewek: \(\displaystyle{ 3 + ({\red{4}} - 1) = 2 + {\red{4}}}\)
. . .
W n-tym roku wyrosło marchewek: \(\displaystyle{ 3 + ({\red{n}} - 1) = 2 + {\red{n}}}\)

Jeśli za \(\displaystyle{ x}\) oznaczymy liczbę marchewek zebraną po \(\displaystyle{ n}\) latach, możemy zapisać wzór:

\(\displaystyle{ x = \underbrace{(2 + 1) + (2 + 2) + (2 + 3) + (2 + 4) + \ldots + (2 + n)}_{n} = 2n + (1 + 2 + 3 + 4 + \ldots + n)}\)

Liczby \(\displaystyle{ 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ldots, \ n}\) tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \(\displaystyle{ r = 1}\). Ze wzoru na sumę \(\displaystyle{ n}\) pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego możemy wyliczyć, że:

\(\displaystyle{ 1 + 2 + 3 + 4 + \ldots + n = \frac{2 \cdot 1 +\left(n - 1 \right) \cdot 1}{2} \cdot n = \frac{\left(n + 1 \right) \cdot n}{2}}\)

I podstawiamy do naczego równania:

\(\displaystyle{ x = 2n + \frac{\left(n + 1 \right) \cdot n}{2} = \frac{\left(n + 5 \right) \cdot n}{2}}\)