Matematyka.pl

Witam
mam problem z zaliczeniem przedmiotu wytrzymałość materiałów, dostaliśmy zadania które zdaje juz 2 raz i nadal ndst. Jest ktoś tak dobry i pomoże w rozwiązaniu?

Wyznacz naprężenia normalne w punktach \(\displaystyle{ A, B, F}\) przekroju -. Siła \(\displaystyle{ P}\) działa w płaszczyźnie przechodzącej przez środek ciężkości przekroju belki.
Dane:
\(\displaystyle{ a = 80\, mm\\
b = 40\, mm\\
c = 15\, mm\\
e = 10\, mm\\
L = 1200\, mm\\
P = 50\, kN}\)

Dodaje link do obrazka ponieważ przez latex caly czas pojawial się błąd.
Dziękuję serdecznie za pomoc.

Wzór na naprężenia normalne w przekroju belki zginanej to:

\(\displaystyle{ \sigma=M_{g} \frac{y}{I_{z}}}\)

gdzie: \(\displaystyle{ M_{g}}\) - moment gnący, który działa w danym przekroju (można go wyznaczyć licząc belkę tradycyjnymi metodami), \(\displaystyle{ y}\) - odległość danego punktu przekroju od osi obojętnej belki, \(\displaystyle{ I{z}}\) - moment bezwładności przekroju belki:

Rozw. problem musimy znać i umieć obliczać: moment zginający, środek ciężkości przekroju( figury), osiowy moment bezwładności przekroju oraz wskaźnik wytrzymałości przekroju, bowiem największe naprężenia normalne przy zginaniu określamy z zależności
\(\displaystyle{ \sigma= \frac{M _{g} }{W} }\), (1) gdzie:
\(\displaystyle{ Mg}\)- maksymalny moment zginajacy,
\(\displaystyle{ W}\)- wskaźnik wytrz. określany jako
\(\displaystyle{ W= \frac{J}{e} }\), (2)
J- moment bezwładności przekroju belki wzgl osi obojętnej
e- odległość włókien skrajnych-najdalej położonych od osi obojętnej
Uwaga- w zadaniu mamy policzyć naprężenia normalne w warstewkach: \(\displaystyle{ AB i CF}\)
Na szkicu skrajną górną warstewkę (rozciąganą) oznaczono kolorem czerwonym, zaś kolorem granatowym AB i CF
.......................................................................................
1.Wykonujemy szkic obciążenia belki i liczymy maksymalny moment zginający, który wystepuje w miejscu utw. kształtownika
\(\displaystyle{ M _{g} =-P \cdot L}\), (3)
2. Określamy położenie środka ciężkości pola przekroju symetrycznego -dwuteownika. Przekrój złożony z trzech prostokatów o polach \(\displaystyle{ S _{1} ,S _{2}, S _{3} }\).
2a. Środek ciężkości całego przekroju leży na osi \(\displaystyle{ yo}\) w odległości \(\displaystyle{ a/2}\) od bazowej osi \(\displaystyle{ x.}\)
Na szkicu wykreślono oś środkową przechodzącą przez środek ciężkości i oznaczono jako \(\displaystyle{ x _{o} }\). Oś ta jest styczna do warstewki obojętnej( warstewka, która nie ulega odkształceniu!)
3. Obliczamy osiowy moment bezwładności całej figury wzgl. osi \(\displaystyle{ x _{o} }\) policzony jako suma momentów bezwładności wyodrębnionych
trzech figur prostokątów:
\(\displaystyle{ Jxo= J _{x1}+J _{x2}+J _{x3} }\), (4), Gdzie:
\(\displaystyle{ J _{x1} = Jx _{3} =\frac{b \cdot e ^{3} }{12} +b \cdot e \cdot 35 ^{2} }\)
/zastosowano tw Steinera- odległość między osiami równoległymi jest równa 35mm
\(\displaystyle{ Jx _{2}= \frac{c \cdot (a-2e) ^{3} }{12} }\)
/Oś środkowa przechodzi przez środek cięzkości drugiego prostokąta. Odległość między osiami równoległymi jest równa zero, stąd nie ma zast. tw. Steinera/
4. PoLiczymy naprężenia w wybranych warstwach. Np. zgodnie z teorią zginania największe wystąpią w warstewce najdalej oddalonej od osi \(\displaystyle{ x _{o} }\)
4.1 Skrajna warstwa- oddalone od osi \(\displaystyle{ x _{o} }\) o wartość \(\displaystyle{ y _{1}=40 mm }\)
4.2. Wskąźnik przekroju dla tej warstwy górnej rozciąganej wzgl. osi \(\displaystyle{ x _{o} }\) jest równy
\(\displaystyle{ W _{x}= \frac{J _{x} }{y _{1} } }\)
4.3. Największe naprężenie rozciagające(bezwzgledne) w tej warstwie zgodnie z wzorem (1) wynosi
\(\displaystyle{ \sigma _{max} = \frac{M _{g max} }{W _{x} }= \frac{P \cdot L \cdot y _{1} }{J _{x} } }\)
.........................................................................
Podobnie liczymy w pozostałych oznaczonych warstwach.... Zmienia się odległość warstewek od osi obojętnej \(\displaystyle{ x _{o} }\)