Mam pytanie odnośnie konwencji znaków podczas zginania belek.
Wiadome jest, że pierwszą pochodną \(\displaystyle{ M_g(x)}\) jest \(\displaystyle{ T(x)}\), a drugą pochodną \(\displaystyle{ M_g(x)}\) (więc pierwszą pochodną \(\displaystyle{ T(x)}\) ) jest \(\displaystyle{ -q(x)}\) .
Wiadomo, że jeśli piszemy równania momentów gnących i sił tnących, to po lewej stronie przekroju dodatnie są siły tnące skierowane do góry oraz momenty wyginające belkę wypukłością do dołu („żeby się uśmiechała”)
Natomiast problem tkwi w tym, że najczęściej spotykamy się z układem osi \(\displaystyle{ x}\) w prawo \(\displaystyle{ y}\) w dół, i tylko na takie rysunki natknąłem się w przykładach wyprowadzania zależności różniczkowych \(\displaystyle{ M_g(x),\:T(x),\:-q(x)}\) .
Czy zmiana osi (np. \(\displaystyle{ y}\) do góry) powoduje jakąś zmianę znaków w tych wzorach, lub w konwencji - po lewej stronie przekroju dodatnie są siły tnące skierowane do góry?
Czy może układ osi ma wpływ tylko do wyznaczania reakcji w podporach, a do równań sił tnących i momentów jest bez znaczenia? Tylko tutaj jest problem, bo w przypadku układów statycznie niewyznaczalnych używamy jednocześnie równań statyki i równań linii ugięcia żeby coś policzyć.
Ostatnio zmieniony 13 sty 2018, o 03:41 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód:Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Przed bardzo wielu laty umówiono się, że moment sił ( w tym i skupiony, też sił, tyle że pary sił) wyginający belkę wypukłością w dół będzie momentem "dodatnim". Jeżeli przeciwnie, to ujemnym.
Dla zachowania zgodności kierunku ugięcia z dodatniością momentu przyjęto dodatni zwrot osi rzędnych dla momentu i ugięcia w dół.
Później dla "ujednolicenia" dodatniości zwrotów osi rzędnych "w górę", wykresy momentów zginających są lustrzanym odbiciem poprzednich i linii ugięcia belki.
Znak reakcji jest dodatni jeżeli wywołuje dodatni moment zginający, zatem wtedy, kiedy "podpiera" belkę, ujemny zaś kiedy "naciska na belkę" w schemacie: belka pozioma siły zginające prostopadłe do osi belki.
Siła poprzeczna w przekroju zginanym powinna mieć taki znak jaki ma moment zginający. Zatem jej zwrot jest określany zależnie od "strony" od której moment ten określamy. Proszę zajrzeć do dowolnego podręcznika wytrzymałości materiałów.
Tak więc układ osi współrzędnych wykresu momentów jest wg konwencji plus w górę, ugięcie belki w dół jest dodatnie, co jest naturalnym odkształceniem pod obciążeniem ciężarami.
Wg poprzedniej konwencji wykres momentów sugerował obraz przebiegu linii ugięcia.
Mam wrażenie, że nowa umowa nie przyjęła się w statyce budowli, ale mogę się tu mylić.
Dziękuję za konstruktywną wypowiedź, aczkolwiek pomimo długiego studiowania tego tematu dalej nie jestem w stanie go 100%owo zrozumieć.
Rozwiązując zadania i poddając je analizie doszedłem do następujących wniosków:
-Układ współrzędnych nie ma wpływu na znak momentów gnących (w układzie belka poziomo siły prostopadle), siły z lewej strony przekroju do góry są po prosu dodatnie wg konwencji znaków, układ współrzędnych ma za to wpływ na znaki sił reakcji w równaniach statyki
Problem pojawia się natomiast gdy zachodzi potrzeba napisania równania momentów gnących od prawej, a nie od lewej strony belki.
Mianowicie, z moich własnych prób i analiz wynika że aby to zrobić poprawnie (sugerowałem się tym by wykres momentów gnących zachował swój kształt (był tylko odbiciem lustrzanym względem osi y w układzie \(\displaystyle{ Oxy}\)), czyli by np dla belki o długości \(\displaystyle{ l}\), wynik dla równania od lewej strony belki dla \(\displaystyle{ 1/3l}\) był taki sam jak wynik równania od prawej strony belki dla \(\displaystyle{ 2/3l}\)) należy zachować znaki sił tnących (reakcji, skupionych) a zmienić znaki momentów gnących skupionych.
Problem polega na tym, że w każdym podręczniku i na każdej stronie internetowej jest napisane by rozpatrywać jako dodatnie siły po lewej stronie skierowane w górę i z prawej strony przekroju skierowane w dół z czego wynika że należałoby zmienić znak sił tnących (oraz momentów skupionych).
„Siła poprzeczna spowodowana składowymi sił działających po lewej stronie przekroju do góry ma znak dodatni, w przeciwnym wypadku – ujemny. Jeżeli do wyznaczenia siły poprzecznej posłużymy się składowymi sił działającymi po prawej stronie przekroju, to wtedy postąpimy odwrotnie (...)
Moment gnący spowodowany siłami zewnętrznymi działającymi do góry jest dodatni, a działający w dół – ujemny (niezależnie od tego, czy wyznaczamy tę wielkość, sumując momenty sił działających z lewej, czy prawej strony przekroju)” - Z. Dyląg, A. Jakubowicz, Z. Orłoś - Wytrzymałość Materiałów Tom I
Niestety wyniki nie wychodzą takie jakich bym się spodziewał gdy zmieniam znak sił tnących i momentów (wg książki), wychodzą wtedy gdy zmieniam jedynie znaki momentów).
Czy mógłby mi Pan to wytłumaczyć?
@edycja
Czytając swój własny post zauważyłem że prawdopodobnie źle zinterpretowałem nadesłany cytat:
„Moment gnący spowodowany siłami zewnętrznymi działającymi do góry jest dodatni, a działający w dół – ujemny (niezależnie od tego, czy wyznaczamy tę wielkość, sumując momenty sił działających z lewej, czy prawej strony przekroju)”
Z tego wynika, że dla sił skierowanych do góry, moment gnący będzie dodatni niezależnie od strony z której rozpatrujemy belkę czyli tak jak mi się wydaje że jest poprawne
„Siła poprzeczna spowodowana składowymi sił działających po lewej stronie przekroju do góry ma znak dodatni, w przeciwnym wypadku – ujemny. Jeżeli do wyznaczenia siły poprzecznej posłużymy się składowymi sił działającymi po prawej stronie przekroju, to wtedy postąpimy odwrotnie (...)"
Lecz stąd wynika że znaki siły tnących należałoby zmienić przy zmianie stron z której rozpatrujemy belkę. A przecież siły tnące to pochodna po momentach gnących, więc znak musi pozostać ten sam.
Jak można to interpretować?
Próba znalezienia odpowiedzi na Pana wątpliwości
........................................................ Przyczyną wielu nieporozumień przy określaniu siły tnącej \(\displaystyle{ T}\) oraz momentu zginajacego \(\displaystyle{ M _{g}}\) jest brak przyjęcia układu odniesienia, szczególnie w przypadku rozpatrywania belek ustawionych pionowo.
\(\displaystyle{ \qquad}\)Najczęściej przyjmujemy układ prawoskrętny trzech osi prostopadłych x , y i z, zwanych osiami odniesienia. Oś x skierowana wzdłuż osi geometrycznej pręta, osie y, z wzdłuż centralnych osi bezwładności przekroju poprzecznego pręta. Na rysunku przyjęto układ osi \(\displaystyle{ x,y.}\)
Nie można bowiem określać znaku wektora( \(\displaystyle{ T, M _{g}}\)) bez odwołania się do jakiegoś układu odniesienia.
...................................................................................... Znak momentu zginającego \(\displaystyle{ Mg}\)
Znak momentu zginającego \(\displaystyle{ M _{g}}\) zależy od od krzywizny osi środkowej belki. Przyjmuje się(umowa), że moment zginający jest dodatni, jeśli wygina belkę wypukłością w kierunku wyznaczonym przez zwrot osi układu odniesienia (oś \(\displaystyle{ y}\)). tzn. wypukłością „ w dół”.
W przeciwnym wypadku moment gnący uważany jest za ujemny- wygina on belkę wypukłością w kierunku przeciwnym wyznaczonym przez zwrot osi układu odniesienia(wypukłość ”w górę”).
Uwaga: Dla poprawności obliczeń przyjmuje się jeden układ odniesienia x, y dla całej belki.
Znak siły tnącej T
Mając określone momenty zginające wyznaczamy siły tnące(poprzeczne) \(\displaystyle{ T}\) w oparciu o tw. Szwedlera- Żurawskiego- powszechna praktyka. \(\displaystyle{ T= \frac{dM _{g} }{dx}}\)
Nie mając określonego momentu zginającego! stosujemy regułę sumowania sił zewnętrznych
- Obliczajac siłę tnącą przez sumowanie sił po lewej stronie przekroju- należy siły zwrócone do góry uważać za dodatnie, a siły zwrócone w dół za ujemne,
- Obliczając siłę tnącą po prawej stronie przekroju, należy siły zwrócone do góry uważać za ujemne, zaś siły zwrócone w dół za dodatnie.
…………………………...............
P.S.
Autorzy różnych opracowań proponują często odmienne umowy, co może być powodem nieporozumień. Stosowanie innej umowy co do znaku niż ta, do której jesteśmy 'przyzwyczajeni" nie jest błędem(to tylko „umowa”)- istotne jest, aby przyjęta przez nas umowa była stosowana konsekwentnie dla całego układu.
Posługując się tw. Szwedlera- Żurawskiego należy zwrócić uwagę na znak pochodnej.
Pomoc graficzna:
Proszę zwrócić uwagę na zgodność (+), lub nie (-) z ruchem wskazówek zegara i znak siły poprzecznej w przekroju..
Ukryta treść:
Dla ram wg konwencji przyjętej w statyce budowli.
Momenty dodatnie to te, które wyginają części podciągu i słupa do wnętrza ramy.
Tak kiedyś przyjmowano.
Jaka umowa na dziś? Nie wiem. Trzeba zapytać znawców.
