Matematyka.pl

Znaleźć sumę szeregu:

a) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)(n+2)}}\)

b) \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{+\infty}ln(1-\frac{1}{n^2})}\)

c) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty}nq^n\qquad|q|}\)

b)
\(\displaystyle{ \sum\limits^{\infty}_{n=2}ln(1-\frac{1}{n^2})=\\
ln(1-\frac{1}{2^2})+ln(1-\frac{1}{3^2})+ln(1-\frac{1}{4^2})+ln(1-\frac{1}{5^2})+...ln(1-\frac{1}{n^2})=\\
ln((1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^2})(1-\frac{1}{4^2})(1-\frac{1}{5^2})...(1-\frac{1}{n^2}))}\)
Zauważ, że:
\(\displaystyle{ 1-\frac{1}{n^2}=\frac{(n-1)(n+1)}{n^2}}\)
Wykorzystując tę zależność,mamy: (nie podstawię tu konkretnych wartości tylko wszedzie umieszczę n:)
\(\displaystyle{ ln(\frac{(n-1)(n+1)}{n^2} \frac{(n)(n+2)}{(n+1)^2}\frac{(n+1)(n+3)}{(n+2)^2}\frac{(n+2)(n+4)}{(n+3)^2}...)}\)
Porównując liczniki i mianowniki widzimy, ze skracając teraz je wzajemnie w liczniku zostanie nam (n-1), w mianowniku n. Stąd szukana suma wynosi(podstawiamy pod n liczbę 2 w ostatniej linijce):
\(\displaystyle{ \sum\limits^{\infty}_{n=2}ln(1-\frac{1}{n^2})=
ln(\frac{1}{2})}\)

a co z resztą? prosze o pomoc

Nad pierwszym jeszcze myśle, a narazie 3:
\(\displaystyle{ \sum\limits^{\infty}_{n=1}nq^n=1q^1+2q^2+3q^3+4q^4+5q^5+...=\\
q+q^2+q^3+q^4+q^5+...\\
+q^2+q^3+q^4+q^5+...\\
+q^3+q^4+q^5+...=\\
\frac{q}{1-q}+\frac{q^2}{1-q}+\frac{q^3}{1-q}+...}\)
Powyższe operacje są możliwe gdyż z założenia |q|

\(\displaystyle{ \sum\limits^{\infty}_{n=1} \frac{1}{n(n+1)(n+2)}=??}\)
Zauważmy, że mamy takie równości:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{n(n+2)}}\)
Stąd daną sumę można zapisać tak:
\(\displaystyle{ \sum\limits^{\infty}_{n=1} \frac{1}{n(n+1)(n+2)}= \sum\limits^{\infty}_{n=1} \frac{1}{n(n+1)}-\sum\limits^{\infty}_{n=1} \frac{1}{n(n+2)}}\)

Zajmijmy się najpierw pierwszą sumą.
Zauważmy znowu, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}\)
Wykorzystując to, mamy:
\(\displaystyle{ \sum\limits^{\infty}_{n=1} \frac{1}{n(n+1)}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...=1}\)

Teraz druga suma.
Mamy następującą zależność:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}(\frac{2}{n(n+2)})=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})}\)
Stąd szukana suma wynosi:
\(\displaystyle{ \sum\limits^{\infty}_{n=1} \frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+...)=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{2})=\frac{1}{2}*\frac{3}{2}=\frac{3}{4}}\)
Teraz już łatwo obliczyć szukaną sumę:
\(\displaystyle{ \sum\limits^{\infty}_{n=1} \frac{1}{n(n+1)(n+2)}= \sum\limits^{\infty}_{n=1} \frac{1}{n(n+1)}-\sum\limits^{\infty}_{n=1} \frac{1}{n(n+2)}=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}}\)

Przyznam, że nie były to łatwe równiania...

Co do pierwszego, zobacz co napisałem w poście "Oblicz jak najzgrabniej"