Matematyka.pl

Wyznaczyć \(\displaystyle{ n}\) - ty wyraz ciągu \(\displaystyle{ 1, 2,2, 3, 4,4, 5, 6,6 , 7, 8,8, 9, ....}\).

Licząc od `n=0`
\(\displaystyle{ a_n=2\left\lfloor\frac n3\right\rfloor +1+\frac43\sin^2\frac{n\pi}{3}}\)

\(\displaystyle{ a_n=2\left\lfloor\frac n3\right\rfloor +1+\frac43\sin^2\frac{n\pi}{3}}\)

A co to ? I skąd się wzięło ?

że skoro sam ją wymyśliłem powinienem nazwać ją swoją nazwą...

A może funkcja Arektmetyczna

Dodano po 1 minucie 44 sekundach:

Zdublowane parzystości

uogólnienie na \(\displaystyle{ k}\) powtórzeń liczb parzystych...

a4karo pisze: 29 paź 2023, o 12:56 Licząc od `n=0`
\(\displaystyle{ a_n=2\left\lfloor\frac n3\right\rfloor +1+\frac43\sin^2\frac{n\pi}{3}}\)

Fuj...
Na upartego, to każdą konstrukcję można zwinąć do krótkiego zwięzłego wzoru- tyle tylko, że jest to sprytne oszustwo; aby to zrobić, po prostu rozbudowujemy wzory, przyjmując pewne oznaczenia na dowolne elementy, które są tylko jednoznacznie wyznaczone, w sposób dowolny, rozbudowujemy oznaczenia, i na koniec prezentujemy to jednym zgrabnym wzorem- nie zmienia to jednak faktu, że wtedy taki wzór nie musi być elementarny- jest on po prostu schowany. Także wzory powinny być (pojęciowo) proste, tj. korzystające wyłącznie z elementarnych pojęć- inaczej jest to oszustwo pod postacią schowanego (co prawda może zwięzłego), ale ukrytego wzoru, gdyż jego treść pojęciowa wcale nie musi być prosta- także wzory muszą być (pojęciowo) proste.

Także ja ten ciąg zdefiniowałnbym po prostu jako (przyjmując, że zero jest liczbą naturalną, oraz oznaczając resztę z dzielenia liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) przez liczbę naturalną \(\displaystyle{ m \neq 0}\) jako: \(\displaystyle{ r _{n,m}}\)):

\(\displaystyle{ f\left( n\right)= \begin{cases} 2\left( \frac{n}{3} \right)+1, \hbox{ gdy } 3|n; \\ 2\left( \frac{n-r _{n,3} }{3}\right)+2, \hbox{ w przeciwnym przypadku.} \end{cases}}\)

A jak już bardzo chcemy wyrazić to jednym zgrabnym wzorem, to ja proponuję oznaczyć resztę z dzielenia liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) przez liczbę naturalną \(\displaystyle{ m \neq 0}\) jako: \(\displaystyle{ r _{n,m}}\), a następnie wprowadzić oznaczenie (dla liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\)):

\(\displaystyle{ x _{n}= \begin{cases} 2\left( \frac{n}{3} \right)+1, \hbox{ gdy } 3|n; \\ 2\left( \frac{n-r _{n,3} }{3}\right)+2, \hbox{ gdy } 3\not|n. \end{cases}}\)

I definiujemy ciąg \(\displaystyle{ f\left( n\right)}\) jednym zgrabnym wzorem, jako:

\(\displaystyle{ f\left( n\right)= x _{n}.}\)

Tyle.

Prościej \(\displaystyle{ a_{3k}=2k}\) itd.

mol_ksiazkowy pisze: 29 paź 2023, o 20:41

\(\displaystyle{ a_n=2\left\lfloor\frac n3\right\rfloor +1+\frac43\sin^2\frac{n\pi}{3}}\)

A co to ? I skąd się wzięło ?

To pierwsze, to chyba wiesz. A ta ostatnia funkcja przyjmuje po kolei wartości `0,1,1,0,1,1,0,1,1,...`.

A słyszałeś o znanych wzorach na \(\displaystyle{ n}\)-tą liczbę pierwszą?? Takie wzory (bo na upartego, to są takie), ale są one zupełnie niepraktyczne- gdyż aby sprawdzić czy \(\displaystyle{ 29}\) jest liczbą pierwszą zgodnie z jednym takim wzorem musielibyśmy czekać co najmniej kilka dni aż sprawdzi to bardzo szybki komputer...(jeśli dobrze pamiętam pewien artykuł z MMM-u). Także ja dziękuje za takie wzory...

Kubuś, nie rozumiesz wzorku, to nie pisz, że głupi, że oszustwo, tylko zignoruj.
BTW, nie pomyślałeś kiedyś, że ta cała matematyka to jedno wielkie oszustwo

Także wzory powinny być (pojęciowo) proste, tj. korzystające wyłącznie z elementarnych pojęć-

elementarnych, czyli jakich

A ta ostatnia funkcja przyjmuje po kolei wartości
\(\displaystyle{ 0,1,1,0,1,1,0,1,1,....}\)

Można też spróbować \(\displaystyle{ \lfloor \frac{n+2}{3} \rfloor - \lfloor \frac{n+1}{3} \rfloor }\) lub ciąg Fibonacciego modulo 2 itd.

w przeciwnym przypadku.

A jednak definicja "klamerkowa" - w niej trzeba (dla jakiegoś \(\displaystyle{ n}\) ) sprawdzać która formuła jest dla niej...