Witam. Potrzebuje pomocy z tym przykładem. Wiem że należy jakoś rozpisać sinusa aby otrzymać szereg przemienny, ale nie wiem jak się za to zabrać.
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \sin \left[ \left( n+ \frac{1}{n} \right) \pi \right]}\)
Zbieżność szeregu
-
Demooon
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 26 lut 2011, o 23:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: O-c
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 2 razy
Zbieżność szeregu
Ostatnio zmieniony 11 lis 2012, o 11:03 przez pyzol, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Skalowanie nawiasów.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Skalowanie nawiasów.
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10307
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2431 razy
Zbieżność szeregu
Popatrz, że
\(\displaystyle{ \sin \left[ \left(n+\frac{1}{n} \right) \pi \right] = \sin \left( n \pi + \frac{\pi}{n} \right) = \sin n \pi \cos \frac{\pi}{n} + \cos n \pi \sin \frac{\pi}{n}.}\)
Wiadomo, że
\(\displaystyle{ \sin n \pi = 0}\) oraz \(\displaystyle{ \cos n \pi = (-1)^n}\)
dla całkowitych \(\displaystyle{ n,}\) więc
\(\displaystyle{ \sin n \pi \cos \frac{\pi}{n} + \cos n \pi \sin \frac{\pi}{n} = (-1)^n \sin \frac{\pi}{n}.}\)
Twój szereg można więc zapisać inaczej jako
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \sin \frac{\pi}{n}.}\)
Teraz można skorzystać z kryterium Leibniza, sprawdziwszy, że spełnione są założenia.
\(\displaystyle{ \sin \left[ \left(n+\frac{1}{n} \right) \pi \right] = \sin \left( n \pi + \frac{\pi}{n} \right) = \sin n \pi \cos \frac{\pi}{n} + \cos n \pi \sin \frac{\pi}{n}.}\)
Wiadomo, że
\(\displaystyle{ \sin n \pi = 0}\) oraz \(\displaystyle{ \cos n \pi = (-1)^n}\)
dla całkowitych \(\displaystyle{ n,}\) więc
\(\displaystyle{ \sin n \pi \cos \frac{\pi}{n} + \cos n \pi \sin \frac{\pi}{n} = (-1)^n \sin \frac{\pi}{n}.}\)
Twój szereg można więc zapisać inaczej jako
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \sin \frac{\pi}{n}.}\)
Teraz można skorzystać z kryterium Leibniza, sprawdziwszy, że spełnione są założenia.