Zbadaj zbieżność szeregu :
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \frac{1}{ \sqrt{n} }\cos \frac{1}{n}}\) , wg. mnie szereg ten jest rozbieżny bo \(\displaystyle{ \cos \frac{1}{n}}\) jest rozbieżny tak samo jak \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{n} }}\)
Będę wdzięczna za odp.
Zbieżność szeregu
- yvonna
- Użytkownik
- Posty: 92
- Rejestracja: 26 lut 2006, o 19:31
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wawa
- Podziękował: 23 razy
Zbieżność szeregu
Ostatnio zmieniony 20 wrz 2010, o 17:14 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Zbieżność szeregu
Masz rację. Jest przecież \(\displaystyle{ (-1)^n\frac{1}{\sqrt{n}}\cos\frac{1}{n}\ge(-1)\cdot\frac{1}{\sqrt{n}}\cdot(-1)=\frac{1}{\sqrt{n}}}\) i szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}}\) jest rozbieżny. Kryterium porównawcze daje jednoznaczną odpowiedź.
Pozdrawiam
Pozdrawiam
-
- Użytkownik
- Posty: 370
- Rejestracja: 26 sty 2010, o 21:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 53 razy
Zbieżność szeregu
Jest przecież \(\displaystyle{ (-1)^n\frac{1}{\sqrt{n}}\cos\frac{1}{n}\ge(-1)\cdot\frac{1}{\sqrt{n}}\cdot(-1)=\frac{1}{\sqrt{n}}}\)
Twoje oszacowanie jest niepoprawne (bo biorąc n=1 miałaby zachodzić nierówność \(\displaystyle{ -cos1 > 0}\), która jest nieprawdziwa). W tym zadaniu trzeba wykorzystać kryterium Leibniza. O ile nie pomyliłem się w rachunkach to wychodzi, że spełnione są jego założenia a sam szereg jest zbieżny.