Matematyka.pl

z def. zbieznosci szeregu, wyznacz sume ponizszego szeregu liczbowego.
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } ln( \frac{n}{n+1})}\)
prosilbym o pelne rozwiazanie.
powinno byc?
\(\displaystyle{ Sn=\sum_{n=1}^{ \infty }(ln(n)-ln(n+1))=ln(1)-ln(2)+ln(2)-ln(3)+...+ln(n)-ln(n+1)=ln(1)-ln(n+1)}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty }Sn=\lim_{ n \to \infty }(ln(1)-ln(n+1))=e- \infty}\)
cos mi u nie pasuje?

no troszeczke nie tak...
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}ln(\frac{n}{n+1})=\underset{N\to\infty}{\lim}\sum_{n=1}^{N}ln(\frac{n}{n+1})=\underset{N\to\infty}{\lim}S_{N}=\star,}\)czyli
z definicji jest to granica ciągu sum częściowych
\(\displaystyle{ S_{N}=\sum_{n=1}^{N}ln(\frac{n}{n+1})=\sum_{n=1}^{N}\left[\ln\left(n\right)-\ln\left(n+1\right)\right]=\ln\left(1\right)-\ln\left(2\right)+\ln\left(2\right)-\ln\left(3\right)+\ldots+\ln\left(N-1\right)-\ln\left(N\right)+\ln\left(N\right)-\ln\left(N+1\right)=\ln\left(1\right)-\ln\left(N+1\right)=\ln\left(1\right)+\ln\frac{1}{N+1}=\ln\frac{1}{N+1}}\)
\(\displaystyle{ \star=\underset{N\to\infty}{\lim}\ln\frac{1}{N+1}=-\infty}\) bo to
jest logarytm z wyrażenia które coraz bardziej zbliża się do zera

czyl ito samo co mi wyszlo bo \(\displaystyle{ =e- \infty =- \infty}\)
tylko jaki wniosek za tym idzie? ze suma szeregu jest rowna\(\displaystyle{ - \infty}\)?

\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty }(ln(1)-ln(n+1))=e- \infty}\) - na jakiej podstawie wnioskujesz ze ta granica tyle wynosi? napisałeś raczej wszystko niechlujnie - w szeregu granica jest taka sama jak wskaźnik sumowania, czyli n - ja napisalem ci wszystko po kolei poprawnie

tak suma tego szeregu to \(\displaystyle{ -\infty}\), ten szereg bardzo wolno zbiega do \(\displaystyle{ -\inf}\)
\(\displaystyle{ \ln\frac{1}{100000000000000000000000000 + 1}\simeq-59.8672}\)
\(\displaystyle{ \ln\frac{1}{10000000000000000000000000000000000 + 1}\simeq-78.2879}\)

\(\displaystyle{ Solve[\ln\left(\frac{1}{x+1}\right)==-10.000,\; x]\Rightarrow x=e^{10.000}-1}\), czyli bardzo duzo!

faktycznie nie rowna sie ln(1)=e. skad ja mialem taki pomysl... pewnie z przemeczonia.wielkie dzieki za pomoc