Matematyka.pl

Tak więc podług tego jakże rozwiniętego tematu chciałem wrzucić takie cuś :

Mamy szeregi :

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {1}{n} ctg \frac {1}{n}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} {(-1)}^{n} ctg \frac {1}{n+2}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{2n}{2n+1})^n}\)

Gdybym mógł sobie dopasować kryterium to pewnie jakoś by mi to łatwiej szło ale nie bardzo wiem co z tymi cotangensami zrobić ( bo trzeba policzyć granice wyrażenia pod szeregiem ), a w ostatnim już trzeci raz mam inny wynik .... zamęczyłem dziś opony mózgowe i licze na ratunek

3 szereg jest rozbieżny ponieważ nie jest spełniony warunek konieczny tzn \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}(\frac{2n}{2n+1})^n}\)=\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{e}}}\)

2 szereg jest zbieżny, to wychodzi z kryt. Leibniza \(\displaystyle{ lim_{n\to\infty}ctg (\frac{1}{n+2})}\)=0 i ciąg \(\displaystyle{ ctg(\frac{1}{n+2})}\) jest malejący. To wsyzstko wynika z własności funkcjoi ctg.

2 szereg to ja wiem że jest rozbieżny z leibniza ale w zadaniu mam to zrobić warunkiem koniecznym i tu tkwi problem ...

co do 3 szeregu to nie wiem jak to robiłeś ale mi właśnie wyszło że mam
\(\displaystyle{ \frac{1^n}{\sqrt{e}}}\) a przecież licznik jest wyrażeniem nieoznaczonym

W szeregu 3 \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}(\frac{2n}{2n+1})^n = \lim_{n\to\infty}(1-\frac {1}{2n+1})^n =\lim_{n\to\infty}(1-\frac{1}{2n+1})^{({2n+1})^{\frac{1}{2}}+(-\frac{1}{2})} = \lim_{n\to\infty} (\frac{1}{e})^{\frac{1}{2}} * \lim_{n\to\infty}(1-\frac {1}{2n+1})^{-\frac{1}{2}} = \frac {1}{\sqrt{e}}}\)

Natomist w tym drugim granica tego co jest pod szeregiem wychodzi 0 bo ctg 1/(n+1) zmierza do 0 więc warunek konieczny jest spełniony, lecz nie rozstrzyga on o tym czy szereg jest zbieżny czy nie bo nie jest warunkiem wystarczającym.

spoko dzięki za trzeci, natomiast co do tamtego to właśnie wałek bo mam w poleceniu aby wykazać że lim =/= 0

a cotangens zera to nie jest czasem inf ?

Cotangens dla 0 nie jest określony.

Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

no wiem wiem ale chodziło mi o to że wtedy nie ma tego zera bo można cotangens rozpatrywać tak że z jednej dąży do - niesk a z drugiej do + niesk ... a to by oznaczało że tamta granica powinna wyjść inaczej nie ?

w pierwszym widac ze granica sumowanych wyrazow jest 1, czyli nie ma warunku koniecznego.

No jak 1, skoro granicą 1/n jest 0?

Rzeczywiście w szeregu 2 popełniłem błąd:( ponieważ \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} ctg (\frac {1}{n+2})}\) różne od zera, gdyż zauważmy że \(\displaystyle{ ctg(\frac{1}{n+2}) = \frac{1}{tg{\frac{1}{n+2}}}\) a ponieważ \(\displaystyle{ tg (\frac{1}{n+2}) >0}\) dla każdego n i \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} tg (\frac{1}{n+2}) = 0}\), zatem \(\displaystyle{ lim_{n\to\infty} ctg (\frac {1}{n+2})}\) dąży do plus nieskończoności, czyli nie możemy stosować tutaj kryterium leibniza. Czyli wniosek z tego taki, że szereg nr 2 jest rozbieżny, gdyż nie zachodzi tutaj warunek konieczny.

no i co? a \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \cot {1 \over n}}\) to ile jest?

No granicą ctg (1/n) jest plus nieskończoność a granica iloczynu to iloczyn granic czyli 0 * plus nieskończoność = 0

no chyba nie bardzo. slyszales o czyms takim jak symbol nieoznaczony? radze sie zapoznac z tym pojeciem przed badaniem zbieznosci jakichkolwiek szeregow.

Ano tak, rzeczywiście masz rację, te twierdzenia które ja podałem można stosować tlyko wtedy kiedy są konkretne granice, sorki mój błąd. Czy zatem mógłbyś pokazać w jaki sposób ta granica wychodzi 1?, tzn domyślam się ale neiwiem czy dobrze, a co zrobić w szeregu 2 z tą granicą? tam również jest symbol nieoznaczony:( heh

zamieniasz na \(\displaystyle{ {\frac{1}{n} \over \tan \frac{1}{n}}}\) i korzystasz ze znanego faktu ze \(\displaystyle{ \lim_{x\to0} {x \over \tan x} = 1}\)

a drugie to nie wiem, z szeregow przemiennych lubie tylko ten zbiezny do ln 2

No tak, czyli generalnie zasada jest taka, że jak masz symbol nieoznaczony to wtedy musisz kombinować??